1. 线性变换的概念
当一个矩阵 \(A\) 乘以一个向量 \(\boldsymbol v\) 时，它将 \(\boldsymbol v\) 变换到另一个向量 \(A\boldsymbol v\)。进来的是 \(\boldsymbol v\)，出去的是 \(T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v\)。一个变换 \(T\) 就像一个函数一样，进来一个数字 \(x\)，得到 \(f(x)\)。但更高的目标是一次考虑所有的 \(\boldsymbol v\)，我们是将整个空间 \(\boldsymbol V\) 进行变换当我们用 \(A\) 乘以每一个向量 \(\boldsymbol v\) 时。
一个变换 \(T\)，为空间 \(\boldsymbol V\) 中的每一个向量 \(\boldsymbol v\) 分配一个输出 \(T( \boldsymbol v)\)。这个变换是线性的，如果它满足：
我们可以将这两个条件结合成一个，
矩阵相乘满足线性变化，因为 \(A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w\) 始终成立。
线性变换满足线到线，三角形到三角形，看下图。
在一条线上的三个点经过变换后仍然在一条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输入是一个三角形变换后输出还是一个三角形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有自己的语言，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，比如列空间包含所有的线性组合 \(Av\)，零空间包含所有使得 \(Av=0\) 的输入。将它们转化为值域（range）和核（kernel）：
\(T\) 的值域 = 所有输出 \(T(v)\) 的集合，对应于列空间。
\(T\) 的核 = 所有使得 \(T(v)=0\) 的输入的集合，对应于零空间。
投影任意一个三维向量到 \(xy\) 平面，那么我们有 \(T(x, y, z)=(x, y, 0)\)。值域就是这个平面，包含了所有的 \(T(v)\)；核是 \(z\) 轴，它们被投影到了零点。这是一个线性的变换。
投影任意一个三维向量到 \(z=1\) 平面，那么我们有 \(T(x, y, z)=(x, y, 1)\)。这不是一个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，而这是线性变换必须满足的条件。
假设 \(A\) 是一个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域 \(W\) 和输入空间 \(V\) 相同。有另一个线性变化是乘以矩阵 \(A^{-1}\)，它将每一个 $T(v) $都带回到 \(v\)，有，
我们遇到了一个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由一个矩阵产生吗？答案是肯定的，所有的变换比如旋转、投影……背后都藏着对应的一个矩阵。
最后我们来直观地感受一下线性变换，看一个矩阵是怎么旋转、拉伸或者以其它方式改变输入的房子的。
2. 线性变换的对应矩阵
这部分的核心在于，如果我们知道了基向量 \(\boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n}\) 的变换 \(T(\boldsymbol{v_1}) \cdots T(\boldsymbol{v_n})\)，那么由于变换是线性的，我们就知道了任意输入向量 \(\boldsymbol{v}\) 的变换 \(T(\boldsymbol{v})\)。
每个向量 \(\boldsymbol{v}\) 都可以表示为基向量的唯一线性组合 \(c_1\boldsymbol{v_1}+ \cdots +c_n\boldsymbol{v_n}\)，又由于 \(T\) 是线性变换，那么必有 \(T(\boldsymbol{v}) = c_1T(\boldsymbol{v_1})+ \cdots +c_nT(\boldsymbol{v_n})\)。
函数 \(1, x, x^2, x^3\) 的导数是 \(0, 1, 2x, 3x^2\)。这里，\(1, x, x^2, x^3\)是立方多项式空间的一个基，输入空间 \(V\) 包含它们的所有组合，四个基的导数可以告诉我们空间 \(V\) 中的所有导数。
针对求导这个变换 \(T\)，我们求解 \(d\boldsymbol v/dx=\boldsymbol0\) 来找到它的核。解是 \(\boldsymbol v=常数\)，因此 \(T\) 的零空间是一维的，包含所有的常函数。我们查看 \(T(v) = d\boldsymbol v/dx\) 的所有输出来找到它的值域，由于输入是三次多项式，三次多项式的导数是二次多项式，所以如果输出空间 \(W\) 是二次多项式空间的话， 那么 \(T\) 的值域是整个 \(W\) ，维度为 3。核的维度+值域的维度=输入空间的维度。
导数将立方空间 \(V\) 变换到平方空间 \(W\)，对应的矩阵是 \(3×4\) 大小的。
为什么 \(A\) 是正确的矩阵，我们可以看到乘以矩阵 \(A\) 和变换 \(T\) 是一致的，\(\boldsymbol{v}=a+bx+cx^2+dx^3\) 的导数是 \(T(v)=b+2cx+3dx^2\)。
然后我们来看积分变换 \(T^{-1}\)，对应的矩阵是 \(4×3\) 大小的，\(\boldsymbol{w}=B+Cx+Dx^2\) 的导数是 \(T^{-1}(w)=0+Bx+\frac{1}{2}Cx^2+\frac{1}{3}Dx^3\)。
长方形的矩阵 \(A\) 没有双边逆矩阵，但它有单边逆，积分是导数的单边逆。
如果你对一个函数积分后再求导，那么你又回到了起始函数，所以 \(AA^{-1}=I\)。但是，如果你先求导再积分，常数项就会丢失，\(T^{-1}T(1)=0\)，这也就是为什么 \(A^{-1}A\) 的第一列为 0。
现在我们来构建任意线性变换的矩阵。假设变换 \(T\) 将 \(n\) 维空间 \(V\) 变换到 \(m\) 维空间 \(W\)， \(\boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n}\) 是 \(V\) 的一组基向量，\(\boldsymbol{w_1} \cdots \boldsymbol{w_m}\) 是 \(W\) 的一组基向量。那么矩阵 \(A\) 是 \(m×n\) 大小的，要找到它的第一列，我们应用 \(T\) 到第一个基向量 \(\boldsymbol{v_1}\)，\(T(\boldsymbol{v_1})\) 位于 \(W\) 空间并有，
这些数字就是 \(A\) 的第一列元素，同理我们可以得到矩阵的所有元素。
所有的输入向量都可以表示为 \(V\) 中基向量的线性组合，变换后的输出则是 \(W\) 中基向量的线性组合。矩阵 \(A\) 告诉了我们变换 \(T\) 做了什么，任何从 \(V\) 到 \(W\) 的变换都可以转换为一个矩阵，这个矩阵则取决于基向量的选择。
两个变换 \(S\) 和 \(T\) 分别用矩阵 \(B\) 和 \(A\) 表示。当我们应用 \(T\) 变换到 \(S\) 变换的输出，我们得到了变换的组合 \(TS\)；当我们在 \(B\) 之后应用 \(A\)，我们得到了矩阵相乘 \(AB\)。矩阵相乘给出了变换 \(TS\) 的正确矩阵 \(AB\)。
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