只证上界存在,下界同理。
【证明】
反证法,假设f(x)在闭区间[a,b]上连续,假设没有上界
\(则\forall n\in N,\exists x_{n}\in [a,b],\)
\(有f(x_{n})>n\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\)
\(因为x_{n}\in[a,b],故x_{n}有界\)
\(故,可从中取出一个收敛子列,记为x_{n_{k}},由(1)式有f(x_{n_{k}})>n_{k}\)
\(lim_{n_{n_{k}}\to\infty}f(x_{n_{k}})=+\infty\quad\quad(2)\)
\(因为lim_{n_{k}\to\infty}x_{n_{k}}=x_{0}\)
\(所以,根据连续函数定义,可得:lim_{n_{k}\to\infty}f(x_{n_{k}})=f(x_{0})\)
\(与(2)式矛盾\)
\(证毕\)
\(下界同理\)
【注意】
\(如果是开区间,则有的函数有界,例如y=x,在开区间(0,1)上连续,且有界\)
\(但是f(x)=\frac{1}{x}在开区间(0,1)连续,但是无界,当x\to 0时,f(x)\to+\infty\)