斜率优化dp
转载自巨佬MashiroSky的博客
数
相信有心想学习斜率优化的同志们一定自己摸索着写过[hnoi2008]玩具装箱这道题吧,我刚开始学习斜率优化的时候,也是写了这个,然后似懂非懂的发现,好像斜率优化就是先证明决策单调性,然后再用单调队列维护一下什么的,这不就是套个模板的东西吗→_→。
对于某一类型的dp方程
其中a[x],b[x],c[x],d[x]a[x],b[x],c[x],d[x]是关于xx的函数,且bb单增。——————【1】——————【1】
按照一贯的套路,先数学归纳法证明决策单调性。
1.归纳假设:
假设有ii前两个决策点j,k(j<k)j,k(j<k),且kk的决策要比jj好,即:
2.归纳推理:
此时后面有状态i+1i+1,这里我们为了简单起见,不妨设a[i+1]=a[i]−v,v>0a[i+1]=a[i]−v,v>0,也就是aa单调递减。
所以,决策单调性是存在的。我们将由决策单调性得出的式子展开,化成斜率式:
记斜率
然后发现这个东西很符合单调队列的尿性:
- −a[i]>=slope(q[l],q[l+1])−a[i]>=slope(q[l],q[l+1])。因为q[l]q[l]在q[l+1]q[l+1]之前加入,那么显然这个式子就表示q[l]q[l]决策不如q[l+1]q[l+1]优,我们可以将队首pop掉。
- slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)。假设我们在后面存在一个a[t]a[t]使得−a[t]>=slope(q[r−1],q[r])−a[t]>=slope(q[r−1],q[r])那么等到pop了q[r−1]q[r−1]之后,−a[t]−a[t]一定也会>=slope(q[r],i)>=slope(q[r],i),q[r]q[r]也会被pop。所以说q[r]q[r]实际上是无用的,我们可以直接将它pop掉。
问题就这样优化到了O(n)O(n)。
回顾一下我们之所以可以使用斜率优化,是因为这个dp方程具有决策单调性;否则我们推不出斜率式。之后我们将决策单调性的式子变形为斜率式,当满足斜率式的时候就表明前一个决策不如后一个决策优,一切都是围绕着决策单调性开展的,可以说决策单调性是斜率优化的前提。(那是真的么,欲知后事,请看下文)
现在我们换一个角度来考虑问题,刚刚是直接从”数“的角度进行了严谨的证明,那么我们现在从”形“的角度来意会。
形
dp方程:
我们这里沿用上面“数”的条件:aa单减,bb单增。
移项:
是不是很像直线的斜截式:−a[i]−a[i]为直线的斜率;直线过点:(b[j],c[j]+d[i])(b[j],c[j]+d[i]);f[i]f[i]即为直线在Y轴上的截距。
可以看出,因为f[i]f[i]要尽可能小,所以我们把之前小于ii的jj画在平面直角坐标系上,一如线性规划,把这条斜线自下往上平移时遇到的第一个点,即能使目前状态有最小值的点。于是我们需要维护一个下凸壳,把那些肯定不会贡献的点删掉。
我们用一个单调队列维护这个凸壳,因为要保证凸壳的下凸性,所以我们显然可以得到单调队列pop队尾的条件:slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)。
考虑什么情况下pop队首元素(这里我们的讨论都是基于f[i]f[i]取最小值的情况下的):
- 斜率−a[i]−a[i]单增(因为aa单减)。−a[i]>slope(q[l],q[l+1])−a[i]>slope(q[l],q[l+1])。
- 斜率不单调。无法pop队首,二分或者三分查找队列中的最优解。二分做法:假设你要在上凸包上二分找斜率为kk的切线。取中间的midmid号点,如果mid+1mid+1存在且与midmid点的斜率小于kk,则l=mid+1l=mid+1;如果mid−1mid−1存在且与midmid点的斜率大于kk,则r=mid−1r=mid−1;如果上面两条都不满足,则midmid就是切点。
不错,你一定已经发现第一种情况所对应的维护方式不是跟之前所说“数”的单调队列维护方式一模一样吗,没错,其实这只是两种不同的解题方式所得出来的同样的结果。
两种方法各有优缺点吧,“形”的角度比较方便理解,对于更高深的cdq分治维护凸包可以比较清晰的了解。但是遇到复杂的dp方程以及决策单调性证明就得靠“数”了(比如国王饮水记),看情况使用吧。
之前说的决策单调性是斜率优化的基础这句话其实并不严谨,像这种从图形角度来求解的斜率优化就并没有用到决策单调性。想一想如果能证明决策单调性,那么一定就是对aa和bb的单调性有要求的,否则的话就是什么斜率不单调啦,在凸包上二分啦什么的。
这就是斜率优化啦。
小科普
回顾之前斜率优化的运用,它必须要有一个前提条件:bb(横坐标)单增。而如果b[j]b[j]不单调怎么办呢?还能不能用斜率优化呢?
答案是可以的,我们需要使用CDQ分治或者splay来解决这个问题。
总结
斜率单调暴力移指针
斜率不单调二分找答案
x坐标单调开单调队列
x坐标不单调开平衡树|cdq分治
参考资料:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100xztv.html
http://tieba.baidu.com/p/3671167462
http://blog.csdn.net/u010336344/article/details/52693858