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一、行列式

codeCuisine 2022-01-13 14:31 原文

概念

行列式是行数和列数相等的数字阵列，本质是一个数。

n阶行列式

&完全展开式

是所有取自n阶行列式不同行不同列的n个元素的乘积之和

逆序数

从左到右依次选定数，选定数后面的一个数比选定数小则算作一个逆序，一个排列的逆序总数称为逆序数

偶排列

逆序数为偶数的排列

行列式性质

  • 行列式运算性质
  1. 行列式转置，行列式值不变
  2. 两行（或列）互换位置，行列式值变号
  3. 某行（或列）有公因子k，可把k提出行列式记号外
  4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和
  5. 把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式值不变
  • 行列式等0性质
  1. 两行（或列）相同
  2. 某一行（或列）元素全为0
  3. 两行（或列）元素对应成比例

行列式按行展开

n阶行列式的值等于任意一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和

异乘变零定理

行列式的任一行（列）元素与令一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为0

余子式

选定某一元素aij，划去该元素所在的行和列，余下的部分相对位置不变，组成的行列式称为余子式。记作Mij

代数余子式

余子式乘上(-1)的i+j次方得到aij的代数余子式，记作Aij

行列式求值

上（下）三角行列式

主对角线元素的乘积

上(下)倒三角行列式

(-1)的n(n-1)/2次方 乘 副对角线元素乘积(n为行列式阶数)

&拉普拉斯展开定理

选定k行，选定k列组成的k阶子式 与 余子式（除去所在行、所在列剩下相对位置不变的行列式） 相乘，乘以(-1)的 选定k阶子式所在行、所在列的行标和列标之和次方

&两个特殊的拉普拉斯展开式

   |A *|    |A 0|
          =         =|A|乘|B|，
   |0 B|    |* B|

   |* A|   |0 A|
         =       =|A|乘|B|乘(-1)的m乘n次方(A为m阶、B为n阶行列式)
   |B 0|   |B *|

范德蒙德行列式公式

   |1         1       ...        1|
   |x1        x2      ...       xn|
   |x1^2      x2^2    ...     xn^2| = TT(xi - xj)
   |...       ...     ...      ...|
   |x1^n-1   x2^n-1   ...   x3^n-1|

    例：
                    令xj = 2;xi = -1，3；令xj = -1;xi = 3
    |1    1   1|
    |2   -1   3| = (-1-2)(3-2)(3-(-1))
    |..  ..  ..|

&克莱姆法则

适用于n个方程，n个未知量的方程组，|A|为系数行列式

推论

  1. 对于非齐次方程组:

    • 系数行列式|A| != 0
    • xi = |Ai|/|A|（i=1,2,..n），|Ai|是第i列元素替换成方程组右端常数项构成的行列式
    • 系数行列式|A| != 0，则方程组有唯一解

  2. 对于齐次方程组:

    • 系数行列式|A| != 0的充要条件是 方程组有唯一零解。若有非零解，充要条件是系数行列式|A|=0

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