图计算：社区发现算法

　　社区划分问题大多基于这样一个假设：同一社区内部的节点连接较为紧密，社区之间的节点连接较为稀疏。因此，社区发现本质上就是网络中结构紧密的节点的聚类。

　　从这个角度来说，这跟聚类算法一样，社区划分问题主要有两种思路：

           （1）凝聚方法(agglomerative method)：添加边

　　　　（2）分裂方法(divisive method)：移除边

　　另一方面，我们也可以认为同一个社区内的节点，之所以能够聚集在一起，是因为它们有相似性。因此只要我们能够将一个节点很好地表示，成为一个向量，那么同样可以用相似性大法来寻找社区聚集，不过这点上需要向量对节点的描述足够好和足够完备。

　　GN算法据说是社区发现领域的第一个算法，或者说它开启了这个领域的研究。下面我们来分别介绍这个领域及其算法是如何演化的。

1、GN算法

　　基本思想：

　　　　在一个网络之中，通过社区内部的边的最短路径相对较少，而通过社区之间的边的最短路径的数目则相对较多。

　　边介数(betweenness)：

　　　　网络中任意两个节点通过此边的最短路径的数目。

　　算法过程：

　　　　（1）计算每一条边的边介数； 
　　　　（2）删除边界数最大的边； 
　　　　（3）重新计算网络中剩下的边的边阶数；
　　　　（4）重复(3)和(4)步骤，直到网络中的任一顶点作为一个社区为止。

　　GN算法是一个基于删除边的算法。这种算法类似于分裂一样，把一个大的网络，以边介数为衡量，去不断删除边，以实现网络分裂。这种方法的缺点：（1）计算复杂度高，在每次删除边了之后都会重复计算剩余节点的边介数；（2）算法的终止条件缺乏一个衡量的目标，不能控制最后可以分裂成多少个社区；

                                                    

　　如上图所示，GN算法相当于是一棵自顶向下的层次树，划分社区就是层次分裂的过程。

　　解决的办法：

　　　　引入模块度Q，模块度是用来衡量社区划分好坏的程度的概念。除此之外，我觉得基本上整个算法的思想都反过来了，不再是从顶层分裂，而是从底层合并聚类，直到最终形成一个大的网络。每次是根据计算合并后使得模块度Q的增量最大的社区进行合并，直到收敛。也就是说，是基于增加边而不是删除边了。这种引入模块度Q来度量社区划分质量的思想，有点像梯度下降算法，是通过迭代计算来获得定义的目标函数的最优解的。

 

2、Label Propagation

　　标签传播算法也是一种自底向上的迭代算法。

　　初始的时候对每一个节点给一个类别，以后每次迭代，对于每个节点，将与它相连的邻居里面数量最多的类别作为这个节点的新类别。直到整个网络的节点类别都不再变化为止。

　　标签传播算法（label propagation）的思想基于：相似的数据应该具有相同的label。其具体实现包括两大步骤：1）构造相似矩阵；2）勇敢的传播吧。

 

　　有向图的Label Propagation算法：

　　　　将有向图转换成无向图，使得节点之间的关系带权重。

 　　具体是构造一个转移概率矩阵P，以及一个节点的分类标签矩阵F。然后计算 F=PF。

 3、随机游走算法

　　随机游走算法的“随机”是指：以相同的概率来从一个顶点移动到另一个顶点。或者说，以某一个定义好的概率作为转移概率，以“移动”的概念，比喻节点的状态的改变。网络图中的每一个节点代表一种状态，不同状态之间转移的概率为：，其中A是邻接/相似度矩阵，D是度矩阵，d_i是节点i的度。t 步随机游走从 i 到 j 的概率是 Pij 的t次幂，表示为P^t_ij。

　　随机游走中的一个经典算法，叫做WalkTrap算法。

　　定义一些距离：

　　（1）定点i和j的距离：   （由转移概率的定义得到）

　　（2）社团C到点j的距离：

　　（3）社团C1到C2的距离：  （由（1）（2）式得到）

 

 　　算法步骤:
　　Step1 每一个点当做一个社区，计算相邻的点(社团)之间的距离
　　Step2 选取使得下式最小的两个社团C1和C2 合并为一个社团，

　　

　　重复这一步骤直到所有点合并为一个社团。

　　随机游走算法尽管速度快，但是效果并不太理想（为什么？）。

 

4、FastUnfolding

　　不管是GN算法、LPA还是随机游走，它们都有一个缺点，就是没有一个明确的量化指标用来衡量算法对社区划分的好坏。也就是说，不知道运算到什么程度了就是最好的结果。比如GN算法，是自顶向下的分裂，那么分裂到什么程度了就可以停止了呢？再比如LPA，迭代多少次停止才最好呢，当图中有一些异常的节点或者特殊的节点时，会不会导致标签一直震荡，以至最后难以得到最优解？为了使得社区划分算法有一个可衡量的标准，提出了“模块度”的概念。

　　FastUnfolding就是一种基于模块度的，自底向上聚集的社区划分算法。

　　FastUnfolding的算法步骤：

1. 初始化，将每个点划分在不同的社区中；
2. 对每个节点，将每个点尝试划分到与其邻接的点所在的社区中，计算此时的模块度，判断划分前后的模块度的差值ΔQ是否为正数，若为正数，则接受本次的划分，若不为正数，则放弃本次的划分；
3. 重复以上的过程，直到不能再增大模块度为止；
4. 构造新图，新图中的每个点代表的是步骤3中划出来的每个社区，继续执行步骤2和步骤3，直到社区的结构不再改变为止。

 

5、BGLL算法

　　是基于模块度Q的两次启发式迭代算法。外层是凝聚法，内层是凝聚+节点置换，克服了简单凝聚法中两个节点一旦合并就无法分开的问题。 

 

6、谱聚类

 

7、其他的各种聚类算法

 

参考：http://blog.csdn.net/aspirinvagrant/article/details/45599071 （GN算法）

　　　http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/48660239  （FastUnfolding算法）

　　   http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/51558148   （Label Propagation 算法）

　　　http://www.cnblogs.com/tychyg/p/5277137.html  （介绍了各种社区聚类的算法）