Markdown 公式指导手册
公式大全的链接
https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962#mjx-eqn-eqsample
一、公式使用参考
如何插入公式
\(Typora\) 的数学公式有两种：行中公式和独立公式。行中公式放在文中与其它文字混编，独立公式单独成行。
- 行中公式可以用如下方法表示：
-
$ 数学公式 $ - 独立公式可以用如下方法表示：
-
$$ 数学公式 $$
如何输入上下标
^ 表示上标, _ 表示下标。如果上下标的内容多于一个字符，需要用 {} 将这些内容括成一个整体。上下标可以嵌套，也可以同时使用。
- 例子：
$$ x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w} $$
- 显示：\(x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w}\)
另外，如果要在左右两边都有上下标，可以使用 \sideset 命令；也可以简单地在符号前面多打一个上下标，此时会以行内公式渲染。
- 例子：
$$ \sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes \quad or \quad {^1_2}\bigotimes {^3_4} $$
- 显示：\(\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes \quad or \quad {^1_2}\bigotimes {^3_4}\)
如何输入括号和分隔符
()、[] 和 | 表示符号本身，使用 \{\} 来表示 {} 。当要显示大号的括号或分隔符时，要用 \left 和 \right 命令。
一些特殊的括号：
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|
| \langle | \(\langle\) | \rangle | \(\rangle\) |
| \lceil | \(\lceil\) | \rceil | \(\rceil\) |
| \lfloor | \(\lfloor\) | \rfloor | \(\rfloor\) |
| \lbrace | \(\lbrace\) | \rbrace | \(\rbrace\) |
| \lvert | \(\lvert\) | \rvert | \(\rvert\) |
| \lVert | \(\lVert\) | \rVert | \(\rVert\) |
有时，我们需要在行内使用两个竖杠表示向量间的某种空间距离，可以这样写
\lVert \boldsymbol{X}_i - \boldsymbol{S}_j \rVert^2→ \(\lVert \boldsymbol{X}_i - \boldsymbol{S}_j \rVert^2\)
- 例子：
$$ f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right) $$
- 显示：\(f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right)\)
有时要用 \left. 或 \right. 进行匹配而不显示本身。
- 例子：
$$ \left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0} $$
- 显示：\(\left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0}\)
如何输入分数
通常使用 \frac {分子} {分母} 来生成一个分数，分数可多层嵌套。如果分式较为复杂，亦可使用 分子 \over 分母 此时分数仅有一层。
- 例子：
$$ \frac{a-1}{b-1} \quad or \quad {a+1 \over b+1} $$
- 显示：\(\frac{a-1}{b-1} \quad or \quad {a+1 \over b+1}\)
当分式 仅有两个字符时 可直接输入 \frac ab 来快速生成一个 \(\large\frac ab\) 。
- 例子：
$$ \frac 12,\frac 1a,\frac a2 \quad \mid \quad \text{2 letters only:} \quad \frac 12a \,, k\frac q{r^2} $$
- 显示：\(\frac 12,\frac 1a,\frac a2 \quad \mid \quad \text{2 letters only:} \quad \frac 12a \,, k\frac q{r^2}\)
如何输入开方
使用 \sqrt [根指数，省略时为2] {被开方数} 命令输入开方。
- 例子：
$$ \sqrt{2} \quad or \quad \sqrt[n]{3} $$
- 显示：\(\sqrt{2} \quad or \quad \sqrt[n]{3}\)
如何输入省略号
数学公式中常见的省略号有两种，\ldots 表示与 文本底线 对齐的省略号，\cdots 表示与 文本中线 对齐的省略号。
- 例子：
$$ f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2 $$
- 显示：\(f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2\)
如何输入向量
使用 \vec{向量} 来自动产生一个向量。也可以使用 \overrightarrow 等命令自定义字母上方的符号。
- 例子：
$$ \vec{a} \cdot \vec{b}=0 $$
-
显示：\(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)
-
例子：
$$ xy \text{ with arrows:} \quad \overleftarrow{xy} \; \mid \; \overleftrightarrow{xy} \; \mid \; \overrightarrow{xy} $$
- 显示：\(xy \text{ with arrows:} \quad \overleftarrow{xy} \; \mid \; \overleftrightarrow{xy} \; \mid \; \overrightarrow{xy}\)
如何输入积分
使用 \int_积分下限^积分上限 {被积表达式} 来输入一个积分。
例子：
$$ \int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x $$
显示：\(\int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x\)
本例中 \, 和 {\rm d} 部分可省略，但加入能使式子更美观，详见“在字符间加入空格”及“如何进行字体转换”。
如何输入极限运算
使用 \lim_{变量 \to 表达式} 表达式 来输入一个极限。如有需求，可以更改 \to 符号至任意符号。
例子：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{示例}} \frac{1}{n(n+1)} $$
显示：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{示例}} \frac{1}{n(n+1)}\)
如何输入累加、累乘运算
使用 \sum_{下标表达式}^{上标表达式} {累加表达式} 来输入一个累加。与之类似，使用 \prod \bigcup \bigcap 来分别输入累乘、并集和交集，更多符号可参考“其它特殊字符”。
此类符号在行内显示时上下标表达式将会移至右上角和右下角，如 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}\)。
- 例子：
$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} \Bbb{R} $$
- 显示：\(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} \Bbb{R}\)
如何输入希腊字母
输入 \小写希腊字母英文全称 和 \首字母大写希腊字母英文全称 来分别输入小写和大写希腊字母。
对于大写希腊字母与现有字母相同的，直接输入大写字母即可。
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \alpha | \(\alpha\) | A | \(A\) | \beta | \(\beta\) | B | \(B\) |
| \gamma | \(\gamma\) | \Gamma | \(\Gamma\) | \delta | \(\delta\) | \Delta | \(\Delta\) |
| \epsilon | \(\epsilon\) | E | \(E\) | \zeta | \(\zeta\) | Z | \(Z\) |
| \eta | \(\eta\) | H | \(H\) | \theta | \(\theta\) | \Theta | \(\Theta\) |
| \iota | \(\iota\) | I | \(I\) | \kappa | \(\kappa\) | K | \(K\) |
| \lambda | \(\lambda\) | \Lambda | \(\Lambda\) | \mu | \(\mu\) | M | \(M\) |
| \nu | \(\nu\) | N | \(N\) | \xi | \(\xi\) | \Xi | \(\Xi\) |
| o | \(o\) | O | \(O\) | \pi | \(\pi\) | \Pi | \(\Pi\) |
| \rho | \(\rho\) | P | \(P\) | \sigma | \(\sigma\) | \Sigma | \(\Sigma\) |
| \tau | \(\tau\) | T | \(T\) | \upsilon | \(\upsilon\) | \Upsilon | \(\Upsilon\) |
| \phi | \(\phi\) | \Phi | \(\Phi\) | \chi | \(\chi\) | X | \(X\) |
| \psi | \(\psi\) | \Psi | \(\Psi\) | \omega | \(\omega\) | \Omega | \(\Omega\) |
部分字母有变量专用形式，以 \var- 开头。
| 小写形式 | 大写形式 | 变量形式 | 显示 |
|---|---|---|---|
| \epsilon | E | \varepsilon | \(\epsilon \mid E \mid \varepsilon\) |
| \theta | \Theta | \vartheta | \(\theta \mid \Theta \mid \vartheta\) |
| \rho | P | \varrho | \(\rho \mid P \mid \varrho\) |
| \sigma | \Sigma | \varsigma | \(\sigma \mid \Sigma \mid \varsigma\) |
| \phi | \Phi | \varphi | \(\phi \mid \Phi \mid \varphi\) |
如何输入其它特殊字符
完整的 \(\LaTeX\) 可用符号列表可以在 这份文档 中查阅（极长，共 348 页），大部分常用符号可以参阅 这份精简版文档 查询。需要注意的是，\(\LaTeX\) 符号并不保证在 MathJax v2.2 中可用，即在 Cmd Markdown 编辑阅读器中可能并不支持所输入的特定命令。
若需要显示更大或更小的字符，在符号前插入
\large或\small命令。
MathJax 针对任意元素均提供从小至大\tiny\Tiny\scriptsize\small*默认值 \normalsize\large\Large\LARGE\huge\Huge共十种渲染大小，详见官方文档。
关系运算符
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \pm | \(\pm\) | \times | \(\times\) | \div | \(\div\) | \mid | \(\mid\) |
| \nmid | \(\nmid\) | \cdot | \(\cdot\) | \circ | \(\circ\) | \ast | \(\ast\) |
| \bigodot | \(\bigodot\) | \bigotimes | \(\bigotimes\) | \bigoplus | \(\bigoplus\) | \leq | \(\leq\) |
| \geq | \(\geq\) | \neq | \(\neq\) | \approx | \(\approx\) | \equiv | \(\equiv\) |
| \sum | \(\sum\) | \prod | \(\prod\) | \coprod | \(\coprod\) | \backslash | \(\backslash\) |
集合运算符
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \emptyset | \(\emptyset\) | \in | \(\in\) | \notin | \(\notin\) |
| \subset | \(\subset\) | \supset | \(\supset\) | \subseteq | \(\subseteq\) |
| \supseteq | \(\supseteq\) | \cap | \(\cap\) | \cup | \(\cup\) |
| \vee | \(\vee\) | \wedge | \(\wedge\) | \uplus | \(\uplus\) |
| \top | \(\top\) | \bot | \(\bot\) | \complement | \(\complement\) |
对数运算符
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \log | \(\log\) | \lg | \(\lg\) | \ln | \(\ln\) |
三角运算符
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \backsim | \(\backsim\) | \cong | \(\cong\) | \angle A | \(\angle A\) |
| \sin | \(\sin\) | \cos | \(\cos\) | \tan | \(\tan\) |
| \csc | \(\csc\) | \sec | \(\sec\) | \cot | \(\cot\) |
微积分运算符
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \int | \(\int\) | \iint | \(\iint\) | \iiint | \(\iiint\) |
| \partial | \(\partial\) | \oint | \(\oint\) | \prime | \(\prime\) |
| \lim | \(\lim\) | \infty | \(\infty\) | \nabla | \(\nabla\) |
逻辑运算符
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \because | \(\because\) | \therefore | \(\therefore\) | \neg | \(\neg\) |
| \forall | \(\forall\) | \exists | \(\exists\) | \not\subset | \(\not\subset\) |
| \not< | \(\not<\) | \not> | \(\not>\) | \not= | \(\not=\) |
戴帽符号
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \hat{xy} | \(\hat{xy}\) | \widehat{xyz} | \(\widehat{xyz}\) | \bar{y} | \(\bar{y}\) |
| \tilde{xy} | \(\tilde{xy}\) | \widetilde{xyz} | \(\widetilde{xyz}\) | \acute{y} | \(\acute{y}\) |
| \breve{y} | \(\breve{y}\) | \check{y} | \(\check{y}\) | \grave{y} | \(\grave{y}\) |
| \dot{x} | \(\dot{x}\) | \ddot{x} | \(\ddot{x}\) | \dddot{x} | \(\dddot{x}\) |
连线符号
其它可用的文字修饰符可参见官方文档 "Additional decorations"。
| 输入 | 显示 |
|---|---|
\fbox{a+b+c+d} 高级框选需声明 enclose 标签 |
\(\fbox{a+b+c+d}\) |
| \overleftarrow{a+b+c+d} | \(\overleftarrow{a+b+c+d}\) |
| \overrightarrow{a+b+c+d} | \(\overrightarrow{a+b+c+d}\) |
| \overleftrightarrow{a+b+c+d} | \(\overleftrightarrow{a+b+c+d}\) |
| \underleftarrow{a+b+c+d} | \(\underleftarrow{a+b+c+d}\) |
| \underrightarrow{a+b+c+d} | \(\underrightarrow{a+b+c+d}\) |
| \underleftrightarrow{a+b+c+d} | \(\underleftrightarrow{a+b+c+d}\) |
| \overline{a+b+c+d} | \(\overline{a+b+c+d}\) |
| \underline{a+b+c+d} | \(\underline{a+b+c+d}\) |
| \overbrace{a+b+c+d}^{Sample} | \(\overbrace{a+b+c+d}^{Sample}\) |
| \underbrace{a+b+c+d}_{Sample} | \(\underbrace{a+b+c+d}_{Sample}\) |
| \overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}+d}^{2.0} | \(\overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}+d}^{2.0}\) |
| \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{b\text{ times}} | \(\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{b\text{ times}}\) |
箭头符号
- 推荐使用符号：
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|---|---|
| \to | \(\to\) | \mapsto | \(\mapsto\) | \underrightarrow{1℃/min} | \(\underrightarrow{1℃/min}\) |
| \implies | \(\implies\) | \iff | \(\iff\) | \impliedby | \(\impliedby\) |
- 其它可用符号：
| 输入 | 显示 | 输入 | 显示 |
|---|---|---|---|
| \uparrow | \(\uparrow\) | \Uparrow | \(\Uparrow\) |
| \downarrow | \(\downarrow\) | \Downarrow | \(\Downarrow\) |
| \leftarrow | \(\leftarrow\) | \Leftarrow | \(\Leftarrow\) |
| \rightarrow | \(\rightarrow\) | \Rightarrow | \(\Rightarrow\) |
| \leftrightarrow | \(\leftrightarrow\) | \Leftrightarrow | \(\Leftrightarrow\) |
| \longleftarrow | \(\longleftarrow\) | \Longleftarrow | \(\Longleftarrow\) |
| \longrightarrow | \(\longrightarrow\) | \Longrightarrow | \(\Longrightarrow\) |
| \longleftrightarrow | \(\longleftrightarrow\) | \Longleftrightarrow | \(\Longleftrightarrow\) |
如何进行字体转换
若要对公式的某一部分字符进行字体转换，可以用 {\字体 {需转换的部分字符}} 命令，其中 \字体 部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下，公式默认为斜体字 \(italic\) 。
示例中 全部大写 的字体仅大写可用。
|输入|全字母可用|显示|输入|仅大写可用|显示|
|:--