听说特征法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。
而这里简单谈谈特征根法的运用：用数列的递推公式求通项公式，用通项公式求递推公式
特征根方法的证明需要线性代数相关知识，留坑。
斐波那契数列的公式推导：
定义\(\text{Fibonacci}\)数列：\(f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2), n\geq 2\)
考虑这个递推式：\(f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)\)，找到一个一元二次方程与之对应（二次项对应\(f(n)\)，一次项对应\(f(n-1)\)，常数项对应\(f(n-2)\)）
\(x^2 = x + 1\)
这个方程称为特征方程。
解出来特征根：\(x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2},x_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}\)
则\(f(n)=c_1 x_1^n+c_2 x_2 ^n\)。把\(f(0)=0,f(1)=1\)代入，得到了：
\(c_1 + c_2 = 0, c_1 x_1 + c_2 x_2 = 1\)
解得：\(c_1=\frac{1}{\sqrt 5}, c_2=-\frac{1}{\sqrt 5}\)，整理后得到：
一般递推式的解法
形式化地，考虑形如\(f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)\)的递推式子
我们把上面的式子换成：\(f(n+2)-(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0\)
显然\(x1 + x2 = p,x1x2=-q\)。所以\(x1,x2\)是\(x^2-px-q=0\)的两个根
\(f(n)\)就可以表示成\(C_1 x_1^n+C_2 x_2^n, C_1,C_2\)是常数
没有实数解怎么办？用复数。
反求递推式
某些时候通项公式可能不好计算，我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求
看一个例子：
\(f(n)=\frac{(\sqrt a + b)^n+(\sqrt a - b)^n}{2}\)
令\(x_1=\sqrt a + b,x_2=\sqrt a - b\)
特征根方程即\(x^2-2bx+(b^2-a)=0\)（韦达定理）
所以 \(f(n)=2b f(n-1)-(b^2-a)f(n-2)\)