平方和
求
\[\sum_{i=1}^n i^2
\]
结论（想必人尽皆知）
\[\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}
\]
推导过程
\[(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
\]
\[(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
\]
\[(n+1)^3-1=3\cdot (\sum_{i=1}^n i^2+i)+n
\]
这里出现了我们想要的东西，设 \((\sum_{i=1}^n i^2)=x\)，则：
\[3x=n^3+3n^2+3n-3(\sum_{i=1}^n i)-n
\]
\[3x=n^3+\frac{3n^2}{2}+\frac{n}{2}
\]
\[x=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}
\]
立方和
推导过程是同理的，记一下结论就好了，没必要每次重新推。
\[(\sum_{i=1}^n i^3)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
\]