问题：固定模数 \(p\)，多次回答某个数 \(a\) 的逆元。强制在线。
本文提供一个 \(O(p^{\frac{2}{3}})\) 预处理，\(O(1)\) 查询的做法。
首先定义一下 Farey 序列：记 \(F_{m}\) 表示所有分母不超过 \(m\) 的最简真分数构成的有序数列。例如 \(F_5 = \{\frac{0}{1}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{1}\}\)。可以认为 \(\frac{0}{1}, \frac{1}{1}\) 也是最简真分数。
Farey 序列有一个性质：对于 \(F_m\) 中任意相邻两个分数 \(\frac{x}{y}, \frac{z}{w}\)，一定满足 \(yz - xw = 1\)。
事实上，\(F_m\) 可以由 \(F_{m - 1}\) 扩展得到。对于 \(F_{m - 1}\) 中任意相邻两个分数 \(\frac{x}{y}\) 和 \(\frac{z}{w}\)，如果 \(y + w = m\)，就在这两个分数中间插一个 \(\frac{x + z}{y + w}\)，这样就得到了 \(F_m\)。验算一下就能发现上述性质可以归纳证明。
我们只要运用下面的定理，就能解决原问题：
定理：对于任意整数 \(n \ge 2\) 和任意实数 \(v \in [0, 1]\)，总是能在 \(F_{n - 1}\) 中找到 \(\frac{x}{y}\)，满足 \(|v - \frac{x}{y}| \le \frac{1}{yn}\)。更强地，这个 \(\frac{x}{y}\) 一定是 \(v\) 向前或向后找到的第一个分数。
考虑固定 \(n\)，令 \(v = \frac{a}{p}\)。那么就有 \(|\frac{a}{p} - \frac{x}{y}| \le \frac{1}{yn}\)。
两边同乘 \(py\)，得到 \(|ay - px| \le \lfloor \frac{p}{n} \rfloor\)。
这意味着 \(ay \equiv u \pmod p\)，其中 \(|u| \le \lfloor \frac{p}{n} \rfloor\)。因为 \(a^{-1} = u^{-1}y\)，所以只要预处理出所有不超过 \(\lfloor \frac{p}{n} \rfloor\) 的数的逆元即可。
这样还有两个问题：怎么不用排序生成 Farey 序列；怎么 \(O(1)\) 找到 \(\frac{x}{y}\)。
发现序列中所有 \(\lfloor \frac{xn^2}{y} \rfloor\) 互不相同。我们开一个长度为 \(n^2\) 的 01 序列，每一位表示是否存在 \(\lfloor \frac{xn^2}{y} \rfloor\) 等于该下标。这样就可以桶排序；并且查询等价于查一个位置前后的第一个 \(1\)，这个只要算一下 01 序列的前缀和即可。
预处理的时间是 \(O(n^2 + \frac{p}{n})\)。令 \(n = p^{\frac{1}{3}}\)，我们就得到了 \(O(p^{\frac{2}{3}})\) 预处理，\(O(1)\) 查询的算法。