CH3--多维随机变量及其分布
联合分布函数：
由它们构成的有序数组\((X,Y)\)称为二维随机变量或二维随机向量
\[P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots
\]
联合分布函数的基本性质：
1.(单调性) \(F(x, y)\)关于 x 和 y 分别单调增
2.(有界性)\(F(-\infty, y)=F(x,-\infty)=0, \quad F(+\infty,+\infty)=1\)
(3)(右连续性)$$ F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.$$
联合分布列
\[\text { (1)(非负性) } \quad p_{i j} \geq 0, \quad i, j=1,2, \ldots
\]
\[\text { (2)(正则性) } \quad \Sigma \Sigma p_{i j}=1
\]
\(若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对，
则称(X, Y)为二维离散随机变量.\)
联合密度函数：
\[如果存在非负函数f(x,y)，使
\]
\[F(x, y)=\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(x, y) d x d y
\]
\[则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度 \\或称为随机变量X和Y的联合概率密度
\]
联合密度函数性质：
\[\text { (1) } \quad p(x, y) \geq 0 (非负性)\]
\[\text { (2) } \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=1(正则性)\]
\[注意：P\{(X, Y) \in D\}=\iint_{D} p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]
常用多维分布
#正态分布
二维正态分布
\[(X, Y)服从正态分布
\]
\[(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)
\]
正态分布的可加性
若$$X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), \quad Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$$且独立
\[则Z=X \pm Y \sim N\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)
\]
注意：
\(X −Y\) 不服从\(N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}\right)\)
\(X-Y \sim N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)\)
边缘分布：
Question：$$已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，
如何求出 X 和 Y 各自的分布？$$
边际分布函数
巳知 \((X, Y)\)的联合分布函数为 \(F(x, y)\)，
则
\[\begin{array}{l}{X \sim F_{X}(x)=F(x,+\infty)} \\ {Y \sim F_{Y}(y)=F(+\infty, y)}\end{array}
\]
二维变量其中一个概率为1时另一个的分布。
例：关于\(X\)的边缘分布：
\[\begin{array}{l}{F_{X}(x)=F(x,+\infty)=\lim _{y \rightarrow+\infty} F(x, y)} \\ {f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y}\end{array}
\]
边际分布密度函数
\[\begin{array}{l}{p(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} p(x, y) \mathrm{d} y} \\ {p(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} p(x, y) \mathrm{d} x}\end{array}
\]
随机变量间的独立性
\[\begin{array}{l}{\text { i) } \quad F(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y)} \\ {\text { ii) } \quad p_{i j}=p_{i} p_{j}} \\ {\text { iii) } \quad p(x, y)=p_{X}(x) p_{Y}(y)}\end{array}
\]
\[则称X与Y是独立的
(1) X 与Y是独立的其本质是：\\
注 意 点：X与Y独立的本质是：
任对实数a, b, c, d，有\]
\[P(a<X<b, c<Y<d)=P(a<X<b) P(c<Y<d)
\]
连续场合的卷积公式
\(设连续随机变量X与Y 独立，
则 Z=X+ Y 的密度函数为\)
\[\begin{aligned} p_{Z}(z) &=\int_{-\infty}^{\infty} p_{X}(x) p_{Y}(z-x) \mathrm{d} x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} p_{X}(z-y) p_{Y}(y) \mathrm{d} y \end{aligned}
\]
离散场合的卷积公式
设离散随机变量 X 与 Y 独立，
则 \(Z=X+ Y\) 的分布列为
\[\begin{aligned} P\left(Z=z_{l}\right) &=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_{i}\right) P\left(Y=z_{l}-x_{i}\right) \\ &=\sum_{j=1}^{\infty} P\left(X=z_{l}-y_{j}\right) P\left(Y=y_{j}\right) \end{aligned}
\]
变量变换法
已知 \((X, Y)\) 的分布， \((X,Y)\) 的函数
\[\left\{\begin{array}{l}{U=g_{1}(X, Y)} \\ {V=g_{2}(X, Y)}\end{array}\right.
\]
求 \((U, V)\) 的分布.
多维随机变量函数的数学期望
\(设 (X, Y) 是二维随机变量，
Z = g(X, Y)，则\)
\[E(Z)=E[g(X, Y)]=\left\{\begin{array}{c}{\sum_{i} \sum_{j} g\left(x_{i}, y_{j}\right) p_{i j}} \\ {\iint_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\end{array}\right.
\]
协方差
\[\operatorname{Cov}(X, Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]
\]
参考资料：《概率论与数理统计教程》茆诗松版（第二版）