【等价转换】—— min/max 的转换与互相转换

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0. min 与 max 的转换

{\begin{aligned} max (X, Y) = X + Y - min (X, Y) \\ min (X, Y) = X + Y - max (X, Y) \\ min (X, Y) + max (X, Y) = X + Y \end{aligned}

1. $max (X, Y) = n$ 的概率求解

将 $max (X, Y)$ 或 $min (X, Y)$ 首先转换为联合概率的形式，进一步通过如变量间的独立性简化计算：

$max (X, Y) = n$ 可拆分成如下三项：

$X = n, Y < n$
$X < n, Y = n$
$X = n, Y = n$

当然可将第三项合并到前两项的任意一项中。

则其：

\begin{aligned} P r (max (X, Y) = n) & = P r (X < n, Y = n) + P r (X = n, Y < n) + P r (X = n, Y = n) \\ = P r (X < n, Y = n) + P r (X = n, Y \leq n) \end{aligned}

同理可将 $min (X, Y) = n$ 拆分为如下三项：

$X > n, Y = n$
$X = n, Y > n$
$X = n, Y = n$

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