使用状态压缩，最好了解 位运算使用
在 \(N\times N\) 的棋盘里面放 \(K\) 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 \(8\) 个格子。
我们用 \(f(i,j,l)\) 表示前 \(i\) 行，当前状态为 \(j\) ，且已经放置 \(l\) 个国王时的方案数。
其中 \(j\) 这一维状态我们用一个二进制整数表示（ \(j\) 的某个二进制位为 0 代表对应的列不放国王，否则代表对应的列放国王）。
我们需要在刚开始的时候预处理出一行的所有合法状态 \(sta(x)\) （排除同一行内两个国王相邻的不合法情况），在转移的时候枚举这些可能状态进行转移。
设当前行的状态为 \(j\) ，上一行的状态为 \(x\) ，可以得到下面的转移方程： \(f(i,j,l) = \sum f(i-1,x,l-sta(x))\) 。
需要注意在转移时排除相邻两行国王互相攻击的不合法情况。
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
long long sta[2005], sit[2005], f[15][2005][105];
int n, k, cnt;
void dfs(int x, int num, int cur) {
if (cur >= n) { // 有新的合法状态
sit[++cnt] = x;
sta[cnt] = num;
return;
}
dfs(x, num, cur + 1); // cur位置不放国王
dfs(x + (1 << cur), num + 1,
cur + 2); // cur位置放国王，与它相邻的位置不能再放国王
}
int main() {
cin >> n >> k;
dfs(0, 0, 0); // 先预处理一行的所有合法状态
for (int i = 1; i <= cnt; i++) f[1][i][sta[i]] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= cnt; j++)
for (int l = 1; l <= cnt; l++) {
if (sit[j] & sit[l]) continue;
if ((sit[j] << 1) & sit[l]) continue;
if (sit[j] & (sit[l] << 1)) continue;
// 排除不合法转移
for (int p = sta[j]; p <= k; p++) f[i][j][p] += f[i - 1][l][p - sta[j]];
}
long long ans = 0;
for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[n][i][k]; // 累加答案
cout << ans << endl;
return 0;
}
几道练习题