算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数,若不是本身就是质数,就是可写为2个以上的质数的积,而且这些质因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。例如:{\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}},{\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}}。
算术基本定理的内容由两部分构成:
- 分解的存在性:
- 分解的唯一性,即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。
算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
证明[编辑]
算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说,欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题:若质数{\displaystyle p|ab},则不是 {\displaystyle p|a},就是{\displaystyle p|b}。然而,在欧几里得的时代,并没有发展出幂运算和指数的写法,甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的,所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。
必然性[编辑]
用反证法:假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积,把最小的那个称为n。
自然数可以根据其可除性(是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积)分成3类:质数、合数和1。首先,按照定义,{\displaystyle n}大于1。其次,{\displaystyle n}不是质数,因为质数{\displaystyle p}可以写成质数乘积:{\displaystyle p=p},这与假设不相符合。因此{\displaystyle n}只能是合数,但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设{\displaystyle n=a\times b},其中{\displaystyle a}和{\displaystyle b}都是介于1和{\displaystyle n}之间的自然数,因此,按照{\displaystyle n}的定义,{\displaystyle a}和{\displaystyle b}都可以写成质数的乘积。从而{\displaystyle n=a\times b} 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。
唯一性[编辑]
引理:若质数{\displaystyle p|ab},则不是 {\displaystyle p|a},就是{\displaystyle p|b}。
引理的证明:若{\displaystyle p|a} 则证明完毕。若{\displaystyle p\nmid a},那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理,存在{\displaystyle (m,n)} 使得{\displaystyle ma+np=1}。于是{\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}。 由于{\displaystyle p|ab},上式右边两项都可以被p整除。所以{\displaystyle p|b}。
再用反证法:假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积,那么假设{\displaystyle n}是最小的一个。
首先{\displaystyle n}不是质数。将{\displaystyle n}用两种方法写出:{\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。根据引理,质数{\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} ,所以{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}} 中有一个能被{\displaystyle p_{1}}整除,不妨设为{\displaystyle q_{1}}。但{\displaystyle q_{1}}也是质数,因此{\displaystyle q_{1}=p_{1}} 。所以,比{\displaystyle n}小的正整数{\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}}也可以写成{\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。这与{\displaystyle n} 的最小性矛盾!
因此唯一性得证。
相关[编辑]
在一般的数域中,并不存在相应的定理;事实上,在虚二次域 {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )} 之中,只有少数几个能满足,最大的一个 {\displaystyle D} 是 {\displaystyle D=163}。例如,{\displaystyle 6}可以以两种方式在 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 中表成整数乘积:{\displaystyle 2\times 3} 和 {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}。同样的,在分圆整数中一般也不存在唯一分解性,而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。
欧几里得在普通整数 {\displaystyle \mathbb {Z} } 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积,高斯则在复整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 中得出并证明,只要不计四个可逆元素 {\displaystyle (\pm 1,\pm i)} 之作用,那么这个唯一分解定理在 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 也成立。高斯还指出,包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。
高斯类数[编辑]
对于二次方程:{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)},它的根可以表示为: {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
因为负数不能开平方,{\displaystyle b^{2}-4ac}的符号就很重要,如果为正,有两个根;如果为0,只有一个根;如果为负,没有实根。欧拉的素数公式:{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)} {\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163} 两个复数解为: {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}
{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}哪个{\displaystyle d}值可以得到唯一分解定理? {\displaystyle d=1,2,3}皆可得到定理,但当{\displaystyle d=5}时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解(分解至不可分约的情形)。 {\displaystyle 6=2\times 3};{\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}。在高斯时代,已知有9个{\displaystyle d}使得{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}所产生的数有唯一因子分解({\displaystyle a},{\displaystyle b}如上面指出那样取值)。 {\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}高斯认为{\displaystyle d}的数量不会超过10个,但是没有人能够证明。 1952年,业余数学家,退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳(Kurt Heegner)发表了他的证明,声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理:麻省理工学院的斯塔克(Harold Stark)和剑桥大学的阿兰贝克(AlanBaker)独立用不同方法证明了第10个{\displaystyle d}值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作,发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔,上述的9个数被称为黑格纳数,一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。