差分约束

用 \(mi[i][j]\) 和 \(mx[i][j]\) 表示 \(i\) 和 \(j\) 号砝码的质量差的最大值 \(/\) 最小值 这道题由于数据范围小，可以用 \(\operatorname{Floyd}\) 算法跑最短路 \(/\) 最长路。判断天平平衡情况可以如下讨论：

• \(a+b>i+j\) ，天平左倾，满足 \(a-i>j-b\) ：

  \(min[a][i]>max[j][b]\)

• \(a+b=i+j\) ，天平平衡，满足 \(a-i=j-b\) ：

  \(min[a][i]=max[a][i]~\&~min[j][b]=max[j][b]~\&~min[a][i]=min[j][b]\)

• \(a+b<i+j\) ，天平右倾，满足 \(a-i<j-b\) ：

  \(max[a][i]<min[j][b]\)

核心代码：

n=rd(),a=rd(),b=rd();
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
{
	 cin>>c;
	 if(c=='+') mi[i][j]=1,mx[i][j]=2;
	 else if(c=='-') mi[i][j]=-2,mx[i][j]=-1;
	 else if(c=='=' || i==j) mi[i][j]=mx[i][j]=0;
	 else mi[i][j]=-2,mx[i][j]=2;
}
for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=k && j!=k && i!=j)
 	 mi[i][j]=max(mi[i][j],mi[i][k]+mi[k][j]),mx[i][j]=min(mx[i][j],mx[i][k]+mx[k][j]);
for(int i=1;i<=n;i++) if(i!=a && i!=b)
	 for(int j=1;j<i;j++) if(j!=a && j!=b)
	 {
	 	 if(mi[a][j]>mx[i][b] || mi[a][i]>mx[j][b]) c1++;
	 	 if((mi[a][i]==mi[j][b] && mi[a][i]==mx[a][i] && mi[j][b]==mx[j][b]) || (mi[a][j]==mi[i][b] && mi[a][j]==mx[a][j] && mi[i][b]==mx[i][b])) c2++;
	 	 if(mx[a][j]<mi[i][b] || mx[a][i]<mi[j][b]) c3++;
	 }
printf("%d %d %d\n",c1,c2,c3);

给出一系列不等式：

\[x_{a_i}\ge (k_i-t)\times x_{b_i}~~~\&~~~(k_i+t)\times x_{a_i}>x_{b_i} \]

以及一些 \(x_i\) 的值 。

求出最大的 \(t\) 使得不等式无解 。

1. 连边

首先对不等式进行拆分化简：

连边 add(b,a,log2(k-t))

由于本题有精度 \(10^{-5}\) 的容量范围，所以我们可以连边 add(b,a,-log2(k+t))

（具体实现连边操作时只用记录 \(k\) 的值，\(t\) 根据边的种类在差分的时候分类讨论。）

2. 判断无解

输出 -1 仅当 \(t=0\) 时不等式仍旧有解 。

3. 二分答案

二分一个 \(t\) ，判断这个时候不等式是否有解 。输出答案 。

上AC代码（去掉了不必要的部分）：

#define inf 0x7f7f7f7f
#define Maxn 5005
int n,s,t,tot;
int cnt[Maxn],hea[Maxn],nex[Maxn*2],ver[Maxn*2],typ[Maxn*2];
double ds[Maxn],edg[Maxn*2];
bool inq[Maxn];

inline void add(int x,int y,double d,int Type)
{
	 ver[++tot]=y,edg[tot]=d,typ[tot]=Type,nex[tot]=hea[x],hea[x]=tot;
}

bool spfa(double tmp) // tmp 这里表示上面说的 t 的值
{
	 for(int i=0;i<=n;i++) ds[i]=-inf,cnt[i]=0,inq[i]=false; ds[n+1]=0;
	 queue<int> q; q.push(n+1),inq[n+1]=true;
	 while(!q.empty())
	 {
	 	 int cur=q.front(); q.pop(),inq[cur]=false;
	 	 for(int i=hea[cur];i;i=nex[i])
	 	 {
	 	 	 double w=edg[i]; // 类型为 3 的边 
	 	 	 if(typ[i]==1) w=log2(edg[i]-tmp); // 类型为 1 的边 
	 	 	 if(typ[i]==2) w=-log2(edg[i]+tmp); // 类型为 2 的边 
	 	 	 if(ds[ver[i]]<ds[cur]+w)
	 	 	 {
	 	 	 	 ds[ver[i]]=ds[cur]+w,cnt[ver[i]]=cnt[cur]+1;
	 	 	 	 if(cnt[ver[i]]>=n+2) return true; // 判断无解 
	 	 	 	 else if(!inq[ver[i]]) inq[ver[i]]=true,q.push(ver[i]);
			 }
		 }
	 }
	 return false; // 此时有解 
}

double x,l=0,r=10,ans,mid;
scanf("%d%d%d",&n,&s,&t);
for(int i=0;i<=n;i++) add(n+1,i,0,3);
for(int i=1,opt,a,b;i<=s;i++)
{
	 scanf("%d%d%d%lf",&opt,&a,&b,&x),add(b,a,x,opt);
	 if(opt==1) r=fmin(r,x);
}
for(int i=1,c;i<=t;i++) scanf("%d%lf",&c,&x),add(0,c,log2(x),3),add(c,0,-log2(x),3);
if(!spfa(0)) printf("-1\n");
else
{
	 while(r-l>cha) // cha 是 0.00001 保证精度 
	 {
	 	 mid=(l+r)/2.0;
	 	 if(spfa(mid)) ans=mid,l=mid+cha;
	 	 else r=mid-cha;
	 }
	 printf("%.6lf\n",ans);
}