　　向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

线性组合

　　线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v₁,v₂…v_n是n维向量，即v_i∈Rⁿ，那么t₁v₁+ t₂v₂ + … + t_nv_n就是v₁,v₂…v_n 的线性组合，t_i∈R。从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。

　　如果有两个二维向量：

　　下面是可能存在的线性组合：

　　最后一个组合最终得到零向量，零向量也是一个线性组合。此外，按照惯例，单个向量用列向量表示。

　　单个向量同样存在线性组合。下面是a可能存在的线性组合：

向量空间

　　概念没什么好解释的，经常提到二维空间R²，三维空间R³，n维空间Rⁿ，这些就是向量空间。

　　以R²空间为例，如果有两个指向不同方向的非零向量a和b，那么R²空间的所有向量都可以用a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R²空间内。这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。下面是一个不封闭的例子，如果定义R²的第一象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第一象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第一象限不对a封闭，也不是a的向量空间。

向量张成的空间

　　如果几个向量的线性组合在某一个向量空间中，并且该向量空间仅包括这几个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这几个向量张成的空间。简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。

　　以R²空间为例，如果有两个指向不同方向的非零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R²，用span(a, b) = R² 表示。如果是两个平行的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们无法张成R²，因为无论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是一条直线：

　　同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是一条直线。很明显，0向量张成的向量空间还是0向量。

　　需要注意的是，a是经过原点的，如果很不幸地将a画在了别的地方，它张成的空间就不是直线了，因为其中一个线性组合0a并不在直线上：

线性相关和线性无关

　　如果有两个向量<2,3>和<4, 6>，它们张成的空间是什么呢？

　　根据定义，这两个向量的线性组合是：

　　这相当于单个向量<2, 3>的线性组合，是一条直线。实际上，这正是过原点的直线参数方程（直线的参数方程可参考《线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程》）。

　　上面的两个向量就是线性相关的，这意味着它们中的一个可以用另一个的线性组合表示，也就是说其中一个向量是多余的，或者说它们不是独立向量（对同一种现象，线性代数从不同的角度会有多种叫法，这多少令人迷惑）。与之相反，就是线性无关。

　　再来一组向量，看看它们是线性相关还是线性无关？

　　看起来是线性无关的，其中一个向量无论再怎么增大，都无法表示另一个，但是线性组合不仅仅包括数乘：

　　v₃是v₁v₂的线性组合，所以这三个向量是线性相关的。换个角度看，v₁v₂是线性无关的，span(v₁, v₂) = R²，R²中的每个向量都可以由v₁, v₂的线性组合表示，而v₃∈R²，所以v₃也可以由v₁, v₂的线性组合表示，它是个多余向量（当然，也可以说v₁或v₂是多余的，因为三者中的任意一个都可以由另外两个表示，所以三者等价），对张成空间没有任何贡献，因此v₁v₂ v₃是线性相关的。span(v₁, v₂, , v₂) = R²