总体和样本

一、点估计量

在某些情况下，我们并不知道总体参数的确切数值，只能通过样本估计总体参数。

点估计量就是通过样本对于总体参数的最佳猜测值。

例如：总体均值总体均值点估计量

二、估计总体均值（样本估计总体）

在已知情况下，样本均值是我们能为总体均值做出的最好估计-样本均值是最有可能被作为总体均值的数值。

样本均值可作为总体均值的点估计量，记为： = (样本均值)。

三、估计总体方差（样本估计总体）

由于样本比较与总体，数值数量变少，因此，与总体中数值偏离于均值的程度相比，样本中的数值更有可能更加密集在均值周围。

所以，样本数据的方差不是总体方差的最好估计方法，如果用样本方差估计总体方差，估计结果会稍微偏低。

通常，如果样本大小为n，可以用下面算式估计总体方差：

$\hat{\sigma ^{2}} = \frac{\sum (X-\bar{x})^{2}}{n-1}$ 当需要估计总体方差时，样本数减-1。

四、估计总体比例（样本估计总体）

如果用 $p_{s}$ 代表样本样本比例，则可以用下式估计总体比例：

$\hat{p} = p_{s}$ , $\hat{p}$ 代表总体比例的点估计量。

五、比例的抽样分布（总体估计样本）

当总体比例p已知时，需要考虑大小为n的样本，得出所有样本比例的分布，该分布称作为“比例的抽样分布”或者“ $p_{s}$ 的分布”。

推导：

条件：总体糖球样本中红色糖球比例为p，样本大小为n。

随机变量X代表样本中红色糖球的数目，X~B(n,p)。红色糖球比例取决于X，即比例可作为另一随机变量X/n记作为 $p_{s}$ ，

$p_{s}$ 期望：E( $p_{s}$ ) = E(X/n) = E(X)/n, X服从二项分布即E(X)=np,于是E( $p_{s}$ )=p。

结果符合预期，我们期望样本中比例与总体比例相一致。

$p_{s}$ 方差：Var( $p_{s}$ ) = Var(X/n)=Var(X)/n²=npq/n²=pq/n。

$p_{s}$ 的分布：当n越大时， $p_{s}$ 的分布越接近正态分布，通常认为n>30时， $p_{s}$ 符合正态分布，此时 $p_{s}$ ~ N(p, pq/n)。

应用：可通过 $p_{s}$ 的分布计算样本比例至少为某值的概率。

连续性修正：在利用正态分布计算概率时，需要进行连续性修正提高正确率，修正值为 +-1/2n。

比例的抽样分布用处：求出已知总体中取出某个样本比例的概率。

六、均值的抽样分布（总体估计样本）

当已知总体均值 $\mu$ 和方差 $\sigma ^{2}$ ，需要考虑大小为n的样本，得出所有样本均值形成的分布，叫做“均值的抽样分布”，或者 $\bar{X}$ 的分布。

推导：已知袋装糖球总体，均值 $\mu$ 和方差 $\sigma ^{2}$ ，一个包装袋糖球数量用X 表示，每一袋糖球都符合相同分布，用X_i代表随机选择一袋糖球中的糖球数量，均值 $\mu$ 和方差 $\sigma ^{2}$ ，

取n包糖球作为样本，X1到Xn表示包装袋中糖球数量， $\bar{X}$ 表示n袋糖球的容量均值。

$\bar{X}$ 的期望：E( $\bar{X}$ ) = E(X₁+X₂+...+X_n/n) = 1/n(E(X₁)+E(X₂)+..+E(X_n)) = 1/n(n $\mu$ ) = $\mu$

结果样本量为n的均值符合总体均值。

$\bar{X}$ 的方差：Var( $\bar{X}$ ) = Var(X₁+X₂+...+X_n/n) = 1/n²(n $\sigma ^{2}$ ) = $\sigma ^{2}$ /n

$\bar{X}$ 的分布

若X符合正态正态分布X~N( $\mu$ , $\sigma ^{2}$ ) 则 $\bar{X}$ 符合正态分布 $\bar{X}$ ~N( $\mu$ , $\sigma ^{2}$ /n)
若n很大时， $\bar{X}$ 可以用正态分布近似 $\bar{X}$ ~N( $\mu$ , $\sigma ^{2}$ /n)（中心极限定理：如果从一个非正态总体X中取出一个样本，且样本很大>30，则 $\bar{X}$ 的分布近似为正态分布）

应用：均值的抽样分布为我们提供了一种计算样本均值的概率的方法。

2020-0509-21：40