取模运算

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

1.求 整数商： c = a/b;

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例如：计算-7 Mod 4

那么：a = -7；b = 4；

第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；

第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。

归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。

当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。比如上式：-7取模4=1 -7取余4=-3

基本性质　

（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p) 即  a%p = b % p。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7) 　　//　　| 表示整除

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) 　

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p) 　　

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p) 　　

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下： 　　

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） 　　

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2） 　　

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3） 　　

ab % p = ((a % p)b) % p （4） 　　

结合率：

 ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5） 　　

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6） 　

交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7） 　　

(a * b) % p = (b * a) % p （8） 　　

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9） 

重要定理

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10） 　　

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11） 　　

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， 　　(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12） 　　

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc (%p)； （13）

问题: 扩展欧几里德算法求解线性同余方程

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a，b)表示 a，b 的最大公约数。那么存在唯一的整

数 x，y 使得 gcd(a，b)=ax+by。

一、递归

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd(a，b)=a。此时 x=1，y=0;

2，ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

结束。

int gcd(int a,int b){
    if(b==0)return a;
    else{
        return  gcd(b,a%b);
    }
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=t;
    return r;
}