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线性回归

Huang-ze 2020-12-20 21:41 原文

1、 线性回归的原理

1.1 线性回归应用场景

  • 房价预测
  • 销售额度预测
  • 金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子

销售额度

1.2 什么是线性回归

1.2.1定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

  • 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归

线性回归公式

那么怎么理解呢？我们来看几个例子

  • 期末成绩：0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
  • 房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。

1.2.2 线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。

  • 线性关系

线性关系图

多变量线性关系

注释：如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系

更高维度的我们不用自己去想，记住这种关系即可

  • 非线性关系

非线性关系

注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？我们后面 讲解过拟合欠拟合重点介绍

如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为：w1x1+w2x22+w3x32

2、线性回归的损失和优化原理（理解记忆）

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系

真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

误差

那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来

2.1 损失函数

总损失定义为：

线性回归损失函数

  • y_i为第i个训练样本的真实值
  • h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
  • 又称最小二乘法

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

2.2 优化算法

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

线性回归经常使用的两种优化算法

  • 正规方程

正规方程

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

损失行数求解1

  • 梯度下降(Gradient Descent)

梯度下降公式

理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向

沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值

使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

单变量的梯度下降

多变量的梯度下降

所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力

2.3 优化动态图演示

线性回归优化动态图

3、 线性回归API

  • sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
    • 通过正规方程优化
    • fit_intercept：是否计算偏置
    • LinearRegression.coef_：回归系数
    • LinearRegression.intercept_：偏置
  • sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
    • SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
    • loss:损失类型
      • loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
    • fit_intercept：是否计算偏置
    • learning_rate : string, optional
      • 学习率填充
      • 'constant': eta = eta0
      • 'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
      • 'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)
        • power_t=0.25:存在父类当中
      • 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。
    • SGDRegressor.coef_：回归系数
    • SGDRegressor.intercept_：偏置

sklearn提供给我们两种实现的API， 可以根据选择使用

4、波士顿房价预测

  • 数据介绍

房价数据集介绍

属性

给定的这些特征，是专家们得出的影响房价的结果属性。我们此阶段不需要自己去探究特征是否有用，只需要使用这些特征。到后面量化很多特征需要我们自己去寻找

4.1 分析

回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。

  • 数据分割与标准化处理
  • 回归预测
  • 线性回归的算法效果评估

4.2 回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

线性回归评估

注：y^i为预测值，¯y为真实值

  • sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
    • 均方误差回归损失
    • y_true:真实值
    • y_pred:预测值
    • return:浮点数结果

4.2 代码

def mylinearregression():
    """
    线性回归预测房子价格
    :return:
    """
    lb = load_boston()
    #
    # print(lb.data)
    #
    # print(lb.target)

    # 对数据集进行划分
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.3, random_state=24)

    # 需要做标准化处理对于特征值处理
    std_x = StandardScaler()

    x_train = std_x.fit_transform(x_train)
    x_test = std_x.fit_transform(x_test)
    # print(x_train)

    # 对于目标值进行标准化
    std_y = StandardScaler()

    y_train = std_y.fit_transform(y_train)
    y_test = std_y.transform(y_test)
    y_test = std_y.inverse_transform(y_test)

    # 使用线性模型进行预测
    # 使用正规方程求解
    lr = LinearRegression()
    # # 此时在干什么？
    lr.fit(x_train, y_train)

    y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))

    print(lr.coef_)

    print("正规方程预测的结果为：", y_lr_predict)

    print("正规方程的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_lr_predict))

    # 梯度下降进行预测
    sgd = SGDRegressor()
    #
    sgd.fit(x_train, y_train)
    print("SGD的权重参数为：", sgd.coef_)
    #
    y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
    #
    print("SGD的预测的结果为：", y_sgd_predict)
    #
    # # 怎么评判这两个方法好坏
    print("SGD的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_sgd_predict))

    return None

我们也可以尝试去修改学习率

sgd = SGDRegressor(learning_rate='constant', eta0=0.001)

此时我们可以通过调参数，找到学习率效果更好的值。

4.3 正规方程和梯度下降对比

正规方程和梯度下降对比

  • 文字对比
梯度下降 正规方程
需要选择学习率 不需要
需要迭代求解 一次运算得出
特征数量较大可以使用 需要计算方程，时间复杂度高O(n3)
  • 选择：
    • 小规模数据：
      • LinearRegression(不能解决拟合问题)
      • 岭回归
    • 大规模数据：SGDRegressor

5、拓展-关于优化方法GD、SGD、SAG

5.1 GD

梯度下降(Gradient Descent)，原始的梯度下降法需要计算所有样本的值才能够得出梯度，计算量大，所以后面才有会一系列的改进。

5.2 SGD

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)是一个优化方法。它在一次迭代时只考虑一个训练样本。

  • SGD的优点是：
    • 高效
    • 容易实现
  • SGD的缺点是：
    • SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数。
    • SGD对于特征标准化是敏感的。

5.3 SAG

随机平均梯度法(Stochasitc Average Gradient)，由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法

Scikit-learn：SGDRegressor、岭回归、逻辑回归等当中都会有SAG优化

6、总结

  • 线性回归的损失函数-均方误差
  • 线性回归的优化方法
    • 正规方程
    • 梯度下降
  • 线性回归的性能衡量方法-均方误差
  • sklearn的SGDRegressor API 参数

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