【定理】如果一个闭区间能够被一个开区间集合覆盖，则从中可以选出有限个开区间，覆盖住该闭区间。
【证明】
设闭区间[a,b]被开区间集合I覆盖。
用反证法，假设从中不能选出有限个开区间对[a,b]覆盖。
\(取[a,b]中点c，将[a,b]分为两个区间[a,c],[c,b],则这两个区间中必有有一个不能被I有限覆盖\)
\(记[a,b]为[a_{1},b_{1}],记这个不能有限覆盖的区间为[a2,b2]\)
\(再将[a_{2},b_{2}]一分为二，将其中不能有限覆盖的区间记为[a_{3},b_{3}]\)
\(无限重复上述操作，得到无穷区间集合\{[a_{n},b_{n}],n=1,2,\cdot\cdot\cdot\}\)
\(这个闭区间集合具有以下性质\)
\((1)\quad[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_{n},b_{n}]\)
\((2)\quad b_{n}-a_{n}=\frac{1}{2^n},n=1,2,3...\)
\(\quad\quad 且a_{n}\leqslant b_{n},可得\)
\(\quad\quad0\leqslant b_{n}-a_{n}\leqslant \frac{1}{2^n}\)
\(\quad\quad根据迫敛定理，可得\quad 0\leqslant lim_{n\to\infty}b_{n}-a_{n}\leqslant lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0\)
\(\quad\quad 得到\quad lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n})=0\)
\(【注意】如果是开区间，那么该区间的有些开覆盖的集合可以选出有限覆盖，但是并非所有开覆盖集合，都能选出有限覆盖，来覆盖该区间\)
\(例如,虽然，开区间集合I=\{(-\frac{1}{n}，1+\frac{1}{n}),n\in N^+\},可以覆盖(0,1),而且可以有限覆盖(0,1)\)
\(但是，开区间集合I=\{(\frac{1}{n}，1),n\in N^+\},可以覆盖(0,1),但是不能有限覆盖(0,1)\)