[数分笔记]用Dedekind切割定理证明确界定理

1、定理内容

Dedekind切割定理：设是实数集的一个切割，则或者有最大数，或者有最小数。

确界定理：非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。

2、证明过程

设非空数集有上界

记，即是上界的集合

令的补集为，即

从而形成实数集的一个切割

由Dedekind定理知，要么有最大数，要么有最小数

若有最大数，设是的最大数

由于，所以不是的上界

从而，s.t 

那么，从而也不是的上界，故

与是的最大数矛盾，从而没有最大数

所以有最小数

即有最小上界，即上确界 #