一、概念比较
①人教A版:已知两个非零向量与
,我们把数量
叫做
与
的数量积(或内积),记作
,即
,其中
是
与
的夹角,
(
)叫做向量
在
方向上(
在
方向上)的投影(如下图)
。
②人教B版:已知向量和
轴(如下图)。作
,过点
分别作轴
的垂线,垂足分别为
,则
叫做向量
在轴
上的正射影(简称射影),该射影在轴
上的坐标,称作
在轴
上的数量或在轴
的方向上的数量,记作
。
二、概念异同
①不同点:向量的投影是一个实数;向量的射影是一个向量;二者不是同一类,求法各不同。
②相同点:向量投影与向量射影的数量是等价的;在数学上表示同一个意思,求法是相同的。
三、求解举例
【例题】已知三点,则向量
在
方向上的投影为_________。
【解析】向量在
方向上的投影是实数,利用投影公式
求解。
由得:
,
,利用投影公式可知:
。
所以,向量在
方向上的投影为
。
【变式】已知三点,则向量
在
方向上的射影为_________。
【解析】向量在
方向上的射影是向量,利用公式求解。
由得:
,
,利用射影公式可知:
所以,向量
在
方向上的射影为
。
注意:向量在
方向上的投影为实数
,向量
在
方向上的射影为向量
它们的类型显然是不同的;但向量
在
方向上射影的数量为实数
,与向量
在
方向上的投影为实数
是一回事儿!