[NOI2012] 随机数生成器

题目描述

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数 $m,a,c,X_0$，按照下面的公式生成出一系列随机数 $\{X_n\}$： $$X_{n+1}=(aX_n +c)\bmod m$$ 其中 $\bmod m$ 表示前面的数除以 $m$ 的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的 C++ 和 Pascal 的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道 $X_n$ 是多少。由于栋栋需要的随机数是 $0,1,\dots,g-1$ 之间的，他需要将 $X_n$ 除以 $g$ 取余得到他想要的数，即 $X_n \bmod g$，你只需要告诉栋栋他想要的数 $X_n \bmod g$ 是多少就可以了。

输入输出格式

输入格式

一行 $6$ 个用空格分割的整数 $m,a,c,X_0,n$ 和 $g$，其中 $a,c,X_0$ 是非负整数，$m,n,g$ 是正整数。

输出格式

输出一个数，即 $X_n \bmod g$。

输入输出样例

输入样例 #1

11 8 7 1 5 3

输出样例 #1

说明

计算得 $X_n=X_5=8$，故$(X_n \bmod g) = (8 \bmod 3) = 2$。对于 $100\%$ 的数据，$n,m,a,c,X_0\leq 10^{18}$，$1\leq g\leq 10^8$，$n,m\geq 1$，$a,c,X_0\geq 0$。

矩阵乘法模板题

由递推公式$X_{n+1}=(aX_n +c)\bmod m$

构造两矩阵

$$E_0 = \begin{Bmatrix}X_0 &c\end{Bmatrix}$$

$$V = \begin{Bmatrix}
a & 0\\
1 & 1
\end{Bmatrix}$$

$$E_0 * V^{n} = E_n = \begin{Bmatrix}X_n &c\end{Bmatrix}$$

直接上矩阵快速幂

注意乘积会爆 $long long$ 要用龟速乘

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long m, a, c, X0, n, g;

long long calc(long long x,long long y)
{
    long long res = 0;
    while(y)
    {
        if(y & 1) res = (res + x) % m;
        x = (x + x) % m;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

struct Martix
{
    long long f[4][4];

    void clear()
    {
        memset(f, 0, sizeof f);
    }

    Martix operator*(const Martix b) 
    {
        Martix c;
        c.clear();
        for(int i = 1; i <= 2; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= 2; j++)
            {
                for(int k = 1; k <= 2; k++)
                {
                    c.f[i][j] += calc(f[i][k] , b.f[k][j]);
                    c.f[i][j] %= m;
                }
            }
        }

        return c;

    }

};

Martix E, V;

Martix qp(Martix a, long long b)
{
    Martix res = V;
    b--;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> m >> a >> c >> X0 >> n >> g;
    E.clear(); V.clear();
    E.f[1][1] = X0; E.f[1][2] = c;
    V.f[1][1] = a; V.f[1][2] = 0;
    V.f[2][1] = 1; V.f[2][2] = 1;

    E = E * qp(V, n);

    cout << E.f[1][1] % g;

    return 0;
}

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