有界性与最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定取得它的最大值和最小值。
零点定理
设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\)与\(f(b)\)异号（即\(f(a)\cdot f(x)<0\)），则在开区间\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使\(f(\xi)=0\).
介值定理
设函数\(f(x)\)在闭区间\([a ,b]\)上连续，且在这区间的端点取不同的函数值\(f(a)=A\)及\(f(b)=B\)，则对于\(A\)与\(B\)之间的任意一个数\(C\)，在开区间\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=C(a<\xi<b)\).
推论
在闭区间\([a,b]\)上连续的函数\(f(x)\)的值域为闭区间\([m,M]\)，其中\(m\)与\(M\)依次为\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值与最大值.
费马定理
若\(y=f(x)\)在点\(x=x_0\)处可导且取极值，则\(f'(x_0)=0\).
罗尔定理
如果函数\(f (x)\)满足
- 在闭区间\([a,b]\)上连续；
- 在开区间\((a,b)\)内可导；
- 在区间端点处的函数值相等，即\(f(a)=f(b)\)，
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi(a<\xi<b)\)，使得\(f'(\xi)=0\).
拉格朗日中值定理(有限增量定理)
如果函数\(f(x)\)满足
- 在闭区间\([a,b]\)上连续，
- 在开区间\((a,b)\)内可导，
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi(a<\xi<b)\)，使等式\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)成立.
柯西中值定理
如果函数\(f (x)\)及\(F(x)\)满足
- 在闭区间\([a,b]\)上连续；
- 在开区间\((a,b)\)内可导；
- 对于任一\(x\in(a,b)\)，\(F'(x)\not=0\)，
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使等式\(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)成立.