微分运算的时域扩展
【问题】设 \(g(t)\) 可导，令 \(f(t) = \frac{dg(t)}{dt}\)，求 \(f(2t)=\frac{dg(2t)}{dt}\) 是否成立?
【答】否。
将导数写成极限的形式，即
\[\begin{aligned}
f(t) &= \frac{dg(t)}{dt}\\
&= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{g(t+\Delta t) - g(t)}{\Delta t}
\end{aligned}
\]
则有
\[\begin{aligned}
f(2t) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{g(2t+\Delta t) - g(2t)}{\Delta t}
\end{aligned}
\]
对于等式的右边有
\[\begin{aligned}
\frac{dg(2t)}{dt}
&= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{g[2(t+\Delta t)] - g(2t)}{\Delta t}\\
&= 2\lim_{\Delta t \to 0} \frac{g(2t+2\Delta t) - g(2t)}{2\Delta t}\\
&= 2\lim_{\Delta t' \to 0} \frac{g(2t+\Delta t') - g(2t)}{\Delta t'}\\
&= 2 f(2t)
\end{aligned}
\]
因此，
\[f(2t) = \frac{1}{2} \frac{d g(2t)}{dt} = \frac{d g(2t)}{d(2t)}
\]
进一步的结论，若 \(f(t) = \frac{dg(t)}{dt}\)，则 \(f(at) = \frac{dg(at)}{d(at)}\).
在使用傅里叶变换的频域变换特性的时候有
\[g(t) = tf(t) \leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}
\]
则
\[g(at) = at\cdot f(at) \leftrightarrow j \frac{dF(jw)}{d(aw)}
\]