1.糖水定理：
a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。糖水不等式为不等式中的难点
2.无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。
a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。糖水不等式为不等式中的难点
2.无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
这是更小的解，与
的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。
3 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式： (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (ay - bx + cw - dz)2 + (az - bw - cx + dy)2 + (aw + bz - cy - dx)2根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其乘积mn也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。
假设下列方程有正整数解。
设
为最小的解。即
显然，
和
都必须能被3整除。
设
及
，
我们得到
两边同时除以3，就得到
3 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式： (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (ay - bx + cw - dz)2 + (az - bw - cx + dy)2 + (aw + bz - cy - dx)2根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其乘积mn也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。