简谐振动
简谐振动就是无阻力的振动,简谐振动在时间上具有周期性,在空间上具有重复性.
简谐振动方程
对于一个质量为\(m\),弹性系数为\(k\)的弹簧振子,
弹簧振子和静止状态的位置距离是\(x\),速度是\(v\),加速度是\(a\),有以下性质
\[由牛顿第二定律得,F=ma\\
由胡克定律的,F=kx\\
所以a=\frac{kx}{m}\\
由速度相关公式得a=\frac{d^2x}{dt^2}\\
所以\frac{d^2x}{dt^2}-\frac{kx}{m}=0\\
根据数学结论,一个形如\frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0的方程\\
可以转换为形如x=Acos(\omega t+\phi)的形式\\
所以x=Acos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t+\phi)\\
其中A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}\\
tan\phi=\frac{-v_0}{\omega x_0}
\]
\(A\)是振幅,\(\omega\)是角速度,\(\phi\)是初始相位,他们被称为振动三要素.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\),
振动的位置\(x=Asin(\omega x + \phi)\)
振动的速度\(v=A\omega cos(\omega x + phi)\)
简谐振动能量
振动的动能如下
\[E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\cdot A^2\omega^2 cos^2(\omega t+\phi)=\frac{1}{2}k\cdot A^2cos^2(\omega t+\phi)
\]
振动的弹性势能如下
\[E=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}k\cdot A^2sin^2(\omega t+\phi)
\]
振动的总能量如下
\[E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi)+\frac{1}{2}kA^2sin^2(\omega t + \phi)=\frac{1}{2}kA^2
\]
他是恒定不变的
振动的合成
两个同方向同频率简谐振动如下
\[x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1)\\
x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2)
\]
他们合成之后,依然是同方向,同频率的简谐振动,合成的振动相关值如下
\[A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_2-\phi_1)}\\
\phi=arctan\frac{A_1sin\phi_1+A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1+A_2cos\phi_2}
\]