高等代数3 行列式
目录
排列
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定义
由\(1,2,\cdots,n\)组成的一个有序数组称为一个\(n\)级排列
\(n\)级排列的总数是\(n*(n-1)*(n-2)\cdots 2 *1\)。我们记\(1*2\cdots(n-1)*n=n!\)，读为\(n\)阶乘。
显然\(12\cdots n\)也是一个\(n\)级排列。这个排列是按着递增顺序排起来的，称为自然排序。
我们也考虑由任意\(n\)个不同的自然数所组成的排列，一般也称为\(n\)级排列。
逆序数—奇排列、偶排列、对换
-
逆序、逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
排列\(j_1j_2\cdots j_n\)的逆序数记为\(\tau (j_1j_2\cdots j_n)\)
-
奇排列、偶排列
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
-
对换
把排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样的一个变换称为一个对换。
显然，连续进行两次相同的对换，那么排列就还原了。因此，一个对换把全部\(n\)级排列两两配对，使每两个配对的\(n\)级排列在这个兑换下互变。
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定理1
对换改变排列的奇偶性
推论：在全部\(n\)级排列中，奇偶排列的个数相等，各有\(n!/2\)个。
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定理2
任意一个\(n\)级排列与排列\(12\cdots n\)都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
n级行列式
取一固定的数域\(P\)作为基础。
定义
-
定义
\(n\)级行列式
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | \]等于所有取自不同行不同列的\(n\)个元素的乘积
\[a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \]的代数和。这里\(j_1j_2 \cdots j_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列，每一项(2)都按下列规则带有符号：
当\(j_1j_2 \cdots j_n\)是偶排列时，(2)带有正号；当\(j_1j_2 \cdots j_n\)是奇排列时，（2）带有负号。这一定义可以写成
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \sum_{j_1j_2\cdots j_n}{(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}} \]这里的\(\sum_{j_1j_2\cdots j_n}\)表示对所有\(n\)级排列求和。
上三角形行列式
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right
|
=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
\]
对角形行列式
主对角元素以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式
\[\left|
\begin{matrix}
d & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
0 &0 & \cdots &d \\
\end{matrix}
\right|
=
d_1d_2 \cdots d_n
\]
性质
- 性质1 行列互换，行列式不变
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
=
\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
\]
转置行列式： 上式右边的行列式称为左边行列式的转置
- 性质2 一个数乘行列式的一行等于用这个数乘这个行列式，或说 一行的公因子可以提出去。
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
=k
\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
\]
-
性质3 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行外全与原来行列式的对应行一样。
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{1}+c_1 & b_2+c_2 & \cdots & b_n+c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| + \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]性质3，显然可以推广到某一行为多组数的和的情形
-
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =0 \] -
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
ks_1 & ks_2 & \cdots &k s_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
=k
\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
=0
\]
-
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+ca_{k1} & a_{i2}+ca_{k2} & \cdots & a_{in}+ca_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| + \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ca_{k1} & ca_{k2} & \cdots & ca_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \] -
性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号
\[\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| =- \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]
计算
一个\(n\)阶行列式可以看成由一个\(n\)级方阵\(A\)决定的，对于矩阵可以进行初等行变换变为阶梯形方阵，阶梯形方阵的行列式是上三角形的，也就等于对角线元素的乘积。
由行列式的性质2,6,7可以得知方阵进行初等行变换对行列式的值影响。
按一行（列）展开
余子式
在行列式
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & \cdots& a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} &\cdots& a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
\]
中划去元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列，剩下的\((n-1)^2\)=个元素按着原来的排法构成一个\(n-1\)级的行列式
\[M_{ij}=\left |
\begin{matrix}
a_{11} & \cdots& a_{1，j-1} & a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots& a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \cdots& a_{i+1，j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n} \\
\vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots& a_{n,j-1} & a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix}
\right|
\]
称为元素\(a_{ij}\)的余子式，记为\(M_{ij}\)。
代数余子式
\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
\]
\(A_{ij}\)称为元素\(a_{ij}\)的代数余子式。
在行列式中，一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和为零。
-
定理
设
\[d=\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | \]\(A_{ij}\)表示元素\(a_{ij}\)的代数余子式，则下列公式成立：
\[a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots +a_{kn}A_{in}= \begin{cases} d，&当k=i \\ 0, &当k \neq i \end{cases} \\ a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots +a_{nl}A_{nj}= \begin{cases} d，&当l=j \\ 0, &当l \neq j \end{cases} \]用连加号简写为
\[\sum_{s=1}^{n}{a_{ks}A_{is}}= \begin{cases} d，&当k=i \\ 0, &当k \neq i \end{cases} \\ \sum_{s=1}^{n}{a_{sl}A_{sj}}= \begin{cases} d，&当l=j \\ 0, &当l \neq j \end{cases} \]在计算数字行列式时，直接应用展开式不一定能简化计算，因为把一个\(n\)级行列式的计算换成\(n\)个\(n-1\)级行列式的计算并不减少计算量，只是当某一行（列）中含有较多零时，应用（17）才有意义。但这个公式在理论上是重要的。
范德蒙行列式
行列式
\[d
=
\left |
\begin{matrix}
1 &1 &1 & \cdots &1 \\
a_1 &a_2 &a_3 & \cdots & a_n \\
a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\
\vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \\
a_1^{n-1} &a_2^{n-1} &a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
\end{matrix}
\right
|
\]
称为\(n\)级的范德蒙德行列式。
对任意的\(n(n\geq 2)\)级范德蒙德行列式等于\(a_1,a_2, \cdots ,a_n\)这\(n\)个数的所有可能的差\(a_i -a_j(1 \leq j <i\leq n)\)的乘积。
\[d
=
\left |
\begin{matrix}
1 &1 &1 & \cdots &1 \\
a_1 &a_2 &a_3 & \cdots & a_n \\
a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\
\vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \\
a_1^{n-1} &a_2^{n-1} &a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
\end{matrix}
\right
|=
\prod_{1\leq j<i \leq n}(a_i-a_j)
\]
由上式可以得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是\(a_1,a_2, \cdots,a_n\)这\(n\)个数中至少有两个相等。
克拉默法则—方程个数等于未知数个数
只考虑方程个数与未知数个数相等的情形。
-
定理
如果线性方程组
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \]的系数矩阵
\[A_{nn}=\left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn} \\ \end{matrix} \right ) \]的行列式，即系数行列式 \(d=|A| \neq 0\).
那么线性方程组（19）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
\[x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},\cdots,x_n=\frac{d_n}{d} \]其中\(d_j\)是把矩阵中第\(j\)列换成方程组的常数项\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)所组成的矩阵的行列式，即
\[d_j= \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} &b_1 &a_{1,j+1} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} &b_2 &a_{2,j+1} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} &b_n &a_{n,j+1} &\cdots &a_{nn}\\ \end{matrix} \right |,j=1,2,\cdots,n \]
二元线性方程组
\[\begin{cases}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2=b_1 \\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2=b_2 \\
\end{cases}
\]
当二级行列式
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{matrix}
\right |
\neq 0
\]
时，该方程组有唯一解，解为
\[x_1=\frac{\left |
\begin{matrix}
b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22} \\
\end{matrix}
\right |}{\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{matrix}
\right |},
x_2=\frac{\left |
\begin{matrix}
a_{11}&b_1 \\
a_{21} &b_2 \\
\end{matrix}
\right |}{\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{matrix}
\right |}
\]
三元线性方程组
\[\begin{cases}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\
a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
\end{cases}
\]
当三级行列式
\[\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{matrix}
\right |
\neq 0
\]
时，该方程组有唯一解，解为
\[x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},x_3=\frac{d_3}{d}
\]
其中
\[d_1=\left |
\begin{matrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{matrix}
\right |
d_2=
\left |
\begin{matrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{matrix}
\right |
d_3=
\left |
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{matrix}
\right |
\]