\((1)\)
\(C_0,C_1=0,\frac{1}{n+1}C_n=\frac{1}{n}C_{n-1}+(\frac{2}{n+1}+\frac{2[n=2]}{(n+1)n})...(n>1)\)
\(S_n=\frac{1}{n+1}C_n=\frac{i=2}{n}\frac{2}{i+1}+\frac{1}{3}\)：虽然\(S_n\)本身不会加\(\frac{2[n=2]}{(n+1)n}\)，但\(n=2\)的时候会加上来
最后推得的式子：\(C_n=2(n+1)\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{2}{3}(n+1)\)