CodeForces 146E Lucky Subsequence

题意

首先定义了一种叫幸运数，幸运数是只包含数字4和数字7的数字。给定n(\(n \le 10^5\))个数，每个数字都不大于 \(10^9\)，让你从中选出k个数，这k个数只要下标不同就算不同，并且这k个数中都不包含两个相同的幸运数，让你求出有多少种选择。

输入

4 2
4 4 7 7

输出

4

样例解释

这里有4种选择，分别是从下标来看，{1, 3}, {1, 4}, {2, 3} 和 {2, 4}。

解析

在不考虑不包含两个相同的幸运数字的条件，那么这个题就是一个简单的乘法原理。首先把这些数字分成两组，一组是非幸运数字，一组是幸运数字。然后可以考虑使用乘法原理，从非幸运数字中选取 \(i\) 个，再从幸运数字中选取 \(k-i\) 个，然后组成一组，求所有可能结果就是答案。对于非幸运数字来说就是一个组合数，当然需要使用逆元来处理。对于幸运数字来说，需要好好考虑。因为每个数字都不大于 \(10^9\)，可以计算出来，所有可能的幸运数字不超过3000个，并且不可以选取相同的幸运数字，所以可以考虑使用动态规划来计算，\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 种幸运数字选取 \(j\) 个不同的幸运数字的种类数量。状态方程为 \(dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] * num[i]\)，其中 \(num[i]\) 表示第 \(i\) 种幸运数字出现的次数。

代码

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <list>
#include <assert.h>
#include <bitset>
#include <numeric>
#include <unordered_map>
#define debug() puts("++++")
#define print(x) cout<<"====== "<<(x)<<" ====="<<endl;
// #define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define _mod(x) ((x) % mod + mod) % mod
#define sz size()
#define be begin()
#define ed end()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
// #define all 1,n,1
#define FOR(i,n,x)  for(int i = (x); i < (n); ++i)
#define freopenr freopen("in.in", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.out", "w", stdout)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LNF = 1e17;
const double inf = 1e20;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-12;
const int maxn = 1e5 + 7;
const int maxm = 3000 + 7;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};
const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};
const P null = P(-1, -1);
int n, m;

inline bool is_in(int r, int c) {
  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;
}
inline int read_int(){
  int x;  scanf("%d", &x);  return x;
}


unordered_map<int, int> lucky_map;
std::vector<int> luckys;
int cnt = 0;
LL inv[maxn];
LL dp[maxm][maxm];

inline LL fast_pow(LL x, int n){
  LL res = 1;
  while(n){
    if(n&1)  res = res * x % mod;
    x = sqr(x) % mod;
    n >>= 1;
  }
  return res;
}

inline bool is_lucky_number(int x){
  while(x)  if(x % 10 != 4 && x % 10 != 7) return false; else x /= 10;
  return true;
}

inline void add(int x){
  if(is_lucky_number(x)){
    if(!lucky_map.count(x))  lucky_map[x] = 0, luckys.pb(x);
    ++lucky_map[x];
    return;
  }
  ++cnt;
}


int main(){
  scanf("%d %d", &n, &m);  luckys.pb(0);
  for(int i = 0; i < n; ++i)  add(read_int());
  dp[0][0] = 1;  LL ans = 0;
  LL f = 1;
  for(int i = 1; i <= cnt; ++i)  f = f * i % mod;
  inv[cnt] = fast_pow(f, mod - 2);
  for(int i = cnt - 1; i >= 0; --i)  inv[i] = (i+1) * inv[i+1] % mod;
  for(int i = 1; i < luckys.sz; ++i)
    for(int j = 0; j <= i; ++j){
      dp[i][j] = dp[i-1][j];
      if(j)  dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j-1] * lucky_map[luckys[i]]) % mod;
    }
  int up = min(m, (int)luckys.sz-1);
  for(int i = max(0, m - cnt); i <= up; ++i)  ans = (ans + dp[luckys.sz-1][i] * f % mod * inv[m-i] % mod * inv[cnt-m+i]) % mod;
  cout << ans << endl;
  return 0;
}