【命题】
两互质数，其和与积必然互质
【数学形式】
对于 \(m,n\in Z\wedge gcd(m,n)=1\)
一定有 \(gcd(mn,m+n)=1\)
【证明】
\(\because \begin{cases} (mn)\times (-1)+(m+n)\times m=m^2 \\\ \\ (mn)\times (-1)+(m+n)\times n=n^2 \end{cases}\)
\(\therefore\) 由裴蜀定理，第一个式子可得 \(gcd(mn,m+n)\mid m^2\) ，由第二个式子可得 \(gcd(mn,m+n)\mid n^2\)
故 \(gcd(mn,m+n)\mid gcd(m^2,n^2)\)
由唯一质数分解定理，得 \(gcd(m^2,n^2)=1\)
故 \(gcd(mn,m+n)\mid 1\)
\(\therefore gcd(mn,m+n)=1\)