向量的点积和叉积

l 向量内积(点积)

两个向量的内积是一个标量，

$x=\left({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\right)$

$y=\left({{y}_{1}},{{y}_{2}},...,{{y}_{n}}\right)$

$x\cdoty=\left|x\right|\cdot\left|y\right|\cdot\cos\left(\theta\right)$

$x\cdoty={{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}+...+{{x}_{n}}{{y}_{n}}$

l 向量的外积（叉积）

两个向量的外积是一个向量

$x=\left({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\right)$

$y=\left({{y}_{1}},{{y}_{2}},...,{{y}_{n}}\right)$

（1）当 $x$ 和 $y$ 是3维向量时，

$x\timesy=\left|\begin{matrix} i&j&k\\ {{x}_{1}}&{{x}_{2}}&{{x}_{3}}\\ {{y}_{1}}&{{y}_{2}}&{{y}_{3}}\\ \end{matrix}\right|=\left({{x}_{2}}{{y}_{3}}-{{x}_{3}}{{y}_{2}}\right)i+\left({{x}_{3}}{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{y}_{3}}\right)j+\left({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}\right)k$

（2）当x和y是2维时，

可以补充一维做方向（用于判断线的走向，逆时针还是顺时针，常用于判断点在线的某一侧）

$x=\left({{x}_{1}},{{x}_{2}}\right)$

$y=\left({{y}_{1}},{{y}_{2}}\right)$

$x\timesy=\left|\begin{matrix} i&j&k\\ {{x}_{1}}&{{x}_{2}}&0\\ {{y}_{1}}&{{y}_{2}}&0\\ \end{matrix}\right|=\left({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}\right)k$

当 $\left({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}\right)$ 大于0时，逆时针，

当 $\left({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}\right)$ 小于0时，顺时针，

当 $\left({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}\right)$ 等于0时，同方向

向量的点积和叉积

推荐阅读