方程的应用，减少了解决算术问题的思维量。有了方程，就不必砍腿去解鸡兔同笼了。列个方程，或是方程组，通过对方程进行代数变换，就可以解出未知量。
不过对方程进行代数变换是要讲逻辑的，不能随便乱变。前几天在 Quora 上看到类似这样的一道题：
已知
\( x+\frac{1}{x}=2\sqrt{5} \) (1)
求
\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}} \) (2)
如果直接从方程 (1) 中解出 \(x\), 再代入 (2) 式，非常麻烦。但是如果对 (1) 式两边平方：
\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+2=20 \) (3)
再两边同减 2, 不难得到
\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=18 \) (4)
那么问题来了：这么搞合理吗？有没有漏解？有人发表了这个简单解法之后，立马就有人质疑，说这样不保险，容易失根或产生增根。比如 \( x=2 \) 这个显然有且只有一解的方程，把它两边平方，反而得到 \( {x}^{2}=4 \), 有两个解。
为什么会这样？两个数相等，它们的平方也应该相等啊，这是毫无疑问的，怎么平白无故多出一个根来？
这是因为，把方程两边平方，不是等价变形。即 \( a=b \) 能推出 \( {a}^{2}={b}^{2} \), \( {a}^{2}={b}^{2} \) 却推不出 \( a=b \). 只有两个方程能相互推出时，它们才互为等价变形，才能说这两个方程本质上是一个方程，解是一样的。解方程的时候，一定要注意这一点。
所以，把 (1) 式两边平方，并不严谨。不过，这也并不意味着，我们就必须把 \(x\) 解出来。先证明 (1) 式有解，反过来令 \( t={x}^2+\frac{1}{{x}^{2}} \), 可得：
\( t+2={x}^2+\frac{1}{{x}^{2}}+2 \)
\( t+2={(x+\frac{1}{x})}^{2} \)
\( t+2=20 \)
\( t = 18 \)
这样在逻辑上就没有毛病了。或者先证明 (1) 式有解，两边平方的时候使用推出符号也行。