一. 数制转换
1. 二进制和十进制互转
（1）二 - 十：2的n次方
（2）十 - 二（整数）：除2取余，从下到上。
（3）十 - 二（小数）：乘2取整，从上到下。
2. 二进制和十六进制互转
（1）二 - 十六：4个1位
（2）十六 - 二：1位4个
二. 原码, 反码, 补码
1. 概念
原码：
新增最高位为符号位，0正1负，其余位不变。
反码：
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
补码：
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余位为反码加一。
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
2. 有符号数加减运算
- （1）先扩位，结果位 = max（a，b）+ 1；
- （2）符号位写两遍，数字为变补码；
- （3）结果值超过的进位舍去；
3. 有符号数乘除法运算
- （1）先扩位，结果位 = a + b + 1；
- （2）符号位相与放到最高位；
- （3）数字位进行乘除运算；
a[3:0] + b[3:0] = {a[3] & b[3], a[2:0] * b[2:0]} = c[6:0]（位数为3+3+1=7）
三. 常见编码
1. 十进制代码
2. 格雷码（循环码）
什么是格雷码？
在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（Gray Code）。另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。格雷码（Gray Code）又称Grey Code、葛莱码、格莱码、戈莱码、循环码、反射二进制码、最小差错码等。
为什么要使用格雷码？
格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，其循环和单步特性消除了随机取数时出现重大错误的可能，其反射和自补特性使得对其进行求反操作也非常方便。格雷码属于一种可靠性编码，它在相邻间转换时，只有一位产生变化，它大大减少了一个状态到另一个状态时逻辑的混淆，因此格雷码在通信和测量技术中得到广泛应用。
格雷码有哪些特点？
（1）格雷码具有反射特性；
（2）格雷码具有循环特性；
（3）格雷码是一种准权码；
（4）格雷码相邻的码组间仅有一位不同；
（5）格雷码从编码形式上杜绝了逻辑冒险的发生；
（6）卡诺图是按格雷码来画的；
（7）格雷码不是一种二进制；（易错）
格雷码和独热码的区别
独热编码占用较多的位，也就是消耗较多的触发器，但这些额外触发器占用的面积可与译码电路省下来的面积相抵消。
二进制转格雷码
Gray = (bin>>1) ^ bin;（右移一位后和自身异或）
3. ASCII码
略
4. 独热码
独热码和二进制码的优缺点比较：
二进制码、格雷码使用最少的触发器，但是消耗较多的组合逻辑（用于译码）；
独热码则正好相反，因为状态比较时仅需要比较一位，从而在一定程度上简化了译码逻辑。
虽然在表示同样的状态时，独热码占用较多的位，也就是消耗较多的触发器，但这些额外的触发器占用面积可与译码电路省下来的面积相抵消。
在CPLD更多的提供组合逻辑，而FPGA提供更多的触发器资源，所以在CPLD中更多的使用二进制、格雷编码，在FPGA中更多使用独热编码。
一般的，对于小型设计（状态数小于4）使用二进制编码，当状态数处于4-24之间时，宜采用独热码编码，而大型状态机（状态数大于24）使用格雷码更高效。
四. 有限状态机中独热码与格雷码的比较
有限状态机编码时采用格雷码和采用独热码的选择
格雷码：相邻之间只变1bit，编码密度高。
独热码：任何状态只有1bit为1，其余皆为0，编码密度低。
比如说，表示4个状态，那么状态机寄存器采用格雷码编码只需要2bit：00(S0),01(S1),11(S2),10(S3)；
采用独热码需要4bit：0001(S0),0010(S1),0100(S2),1000(S3)。
所以很明显采用格雷码可以省2bit寄存器。难理解的是，为什么独热码更节省组合逻辑：其实很简单。
例一：
假如我们要在代码中判断状态机是否处于某状态S1，对于格雷码的状态机来说，代码是这样的：assign S1 = (STATUS==2'b01);对于独热码来说，代码是这样的就行：assign S1=STATUS[1];所以独热码的译码非常简单。
例二：
考虑最简单的跳变，当A为1时，状态机会从S0跳到S1:。采用格雷码写：STATUS[1:0] <= (STATUS==2'h00) & A ? 2'h01 : 2'h00;采用独热码写:STATUS[1] <= STATUS[0] & A;
有人怀疑这里的逻辑，认为只check独热码的一个bit有问题。当然是没问题的，0110，0011等编码属于不care的编码，在卡诺图化简中，不care的编码可以与其余的有效编码合并化简。实际上综合器也会这么做，所以独热码非常容易化简。
假如说S0跳到S1条件为A；S1跳到S2条件为B；S2跳到S3条件为C；S3跳到S0条件为D；那么整个状态机化简之后代码就是：
STATUS[0] <= STATUS[3] & D;
STATUS[1] <= STATUS[0] & A;
STATUS[2] <= STATUS[1] & B;
STATUS[3] <= STATUS[2] & C;
五. 总结
对于小型设计（状态数小于4）使用二进制编码，
当状态数处于4-24之间时，宜采用独热码编码，
而大型状态机（状态数大于24）使用格雷码更高效。
独热码适合写条件复杂但是状态少的状态机；
格雷码适合写条件不复杂但是状态多的状态机。
六. 参考资料：
1.阎石. 数字电子技术基础(第5版)[M]. 高等教育出版社, 2006.
2.https://blog.csdn.net/qq_40124902/article/details/106989330
3.https://www.cnblogs.com/xianyufpga/p/13189950.html
4.微信公众号 数字ICer 《“ 一网打尽 ” 二进制、格雷码、独热码编码方式》
