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欧拉函数（欧拉定理）与费马小定理

wjune-0405 2019-10-23 22:14 原文

详细的证明忽略。只记录使用场景。

欧拉函数

欧拉函数\varphi(n)(n\in N^*)是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。

欧拉定理

使用条件为a和n互质，即gcd（a,n）=1

对于任意互素的a和n，有a^{\varphi(n)}\equiv1(\mod n)

 

  • 方法1：求单个数的欧拉函数

 

我们首先应该要知道欧拉函数的通项公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中pi为n的质因数

long long eular(long long n)
{
    long long ans = n;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            ans -= ans/i; //等价于通项，把n乘进去
            while(n % i == 0) //确保下一个i是n的素因数
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1)ans -= ans/n; //最后可能还剩下一个素因数没有除
    return ans;
}

  • 方法2： 打表求欧拉函数

void euler()  
{  
    for(int i=2;i<maxn;i++){  
        if(!phi[i])  
        for(int j=i;j<maxn;j+=i){  
            if(!phi[j]) phi[j]=j;  
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);  
        }  
    }  
}

  • 方法3： 欧拉筛素数同时求欧拉函数

void get_phi()  
{  
    int i, j, k;  
    k = 0;  
    for(i = 2; i < maxn; i++)  
    {  
        if(is_prime[i] == false)  
        {  
            prime[k++] = i;  
            phi[i] = i-1;  
        }  
        for(j = 0; j<k && i*prime[j]<maxn; j++)  
        {  
            is_prime[ i*prime[j] ] = true;  
            if(i%prime[j] == 0)  
            {  
                phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * prime[j];  
                break;  
            }  
            else  
            {  
                phi[ i*prime[j] ] = phi[i] * (prime[j]-1);  
            }  
        }  
    }  
}

方法四 ：欧拉降幂

然后使用欧拉定理实现简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[互素]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。于是该7^{222}的个位数就是9。

while(scanf("%lld %s %lld",&x,a,&z) != EOF)//输入x，a，z，求x^a%z
    {
        ll len = strlen(a);
        ll p = phi(z);
        ll ans = 0;
        for(ll i = 0;i < len; i++)
            ans = (ans*10 + a[i]-'0')%p;//a%p的余数
        ans += p;
        printf("%lld\n", quickpow(x, ans, z));
    }

其余性质：

1：欧拉函数性质：N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2*M*eular(N)。

②若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

③若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

费马小定理

费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况，即p为质数，a不是p的整数，应该是不要求互质，还没有刷题。

 

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