两个无理方程

下面的例子均来自于单墫先生的《初中数学指津——代数的魅力与技巧》。

• 解方程：(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+x}}}}=x).
  若直接多次平方，那会非常麻烦的。我们按照形式，先考虑简单的只有一个根号的方程：(\sqrt{6+x}=x). 解得 (x=3), 负值舍弃.
  经检验, 发现 (x=3) 就是原方程的一个解.
  当 (x>3) 时, (x^2-(x+6)=(x+2)(x-3)>0), 于是 (x>\sqrt{6+x}), 从而
  [x>\sqrt{6+x}>\sqrt{6+\sqrt{6+x}}>\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+x}}}>\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+x}}}}.]
  当 (x<3) 时，我们有
  [x< \sqrt{6+x}< \sqrt{6+\sqrt{6+x}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+x}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+x}}}}.]
  因此原方程只有一个解 (x=3).

• 解方程：(\sqrt[3]{3x+2}+\sqrt[3]{5-3x}=1).
  记 (A=\sqrt[3]{3x+2}), (B=\sqrt[3]{5-3x}), 则
  [A+B=1, \qquad A^3+B3=7.]
  两式相除可得 (A^2-AB+B2=7), 即 ((A+B)^2-3AB=7). 于是可得
  [AB=-2.]
  据此可以求出
  [\begin{cases}A=2,\ B=-1.\end{cases} \begin{cases}A=-1,\ B=-2.\end{cases}]