下面的题目来自于单墫先生的《初中数学指津——代数的魅力与技巧》。
题目
已知 \(\dfrac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=3\), 求 \(\dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}\) 的值.
书中的解答
因为
\[(a-c)(b-d)+(b-c)(d-a)=(c-d)(a-b),
\]
所以 $$\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}=1-\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=\frac{2}{3}.$$
简单明了，可惜我当初没想到。
我的解答
一开始我也注意到了前面分数的分子和后面分数的分母相等，但后面的变形走错方向了，只能放弃。一怒之下，我决定暴力硬算,希望能消去一个字母。虽然最终未能如愿，但却比希望的要好，算是一种报偿吧。
根据已知等式可得
\[3(ab+cd)-(ad+bc)=2(ac+bd). \qquad (1)
\]
再令 \(\dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}=X\), 于是有
\[(X-1)(ad+bc)+(ac+bd)=X(ac+bd). \qquad (2)
\]
如果注意到 \((1)\), \((2)\) 括号中的代数式是一致的，那就能猜出 \(X=\frac{2}{3}\).
为保险起见，我们验证一下：
结合 \((1)\), \((2)\) 我们有
\[(3X-3)(ad+bc)+2(ac+bd)+(ad+bc)=3X(ac+bd),
\]
化简得
\[(3X-2)(a-b)(c-d)=0.
\]
由已知条件可知 \((a-b)(c-d)\neq 0\), 所以 \(X=\frac{2}{3}\).