8. Schmidt 分解和纯化

密度算子和偏迹仅仅是研究复合量子系统的大量有用工具汇总最初步的内容，这些工具对量子计算与量子信息的研究起关键作用. Schmidt 分解和纯化(purification) 是另外两个很有价值的工具.

8.1 Schmidt 分解

设\(|\psi\rang\) 是复合系统\(AB\)的一个纯态，则存在系统\(A\)的标准正交基\(|i_A\rang\) 和系统\(B\)的标准正交基\(|i_B \rang\) ，使得

其中\(\lambda_i\) 是满足\(\sum_i\lambda_i^2=1\) 的非负实数，称为Schmidt 系数.

重要结论：系统\(A\)的约化密度算子\(\rho^A=\sum_i\lambda_i^2|i_A\rang\lang i_A|\)，系统\(B\)的约化密度算子\(\rho^B=\sum_i\lambda_i^2|i_B\rang\lang i_B|\), 两个约化密度算子的特征值均为\(\lambda_i^2.\) 量子系统的许多重要性质完全取决于系统约化密度算子的特征值，因此对复合系统的纯态而言，两个系统的这些性质将相同.

推导如下：

\(\rho^{AB}=|\psi\rang\lang\psi|=\sum_i\lambda_i|i_A\rang|i_B\rang \sum_i\lambda_i\lang i_A| \lang i_B| =\sum_i\lambda_i^2 \Big(|i_A\rang \otimes |i_B\rang \Big) \Big(\lang i_A| \otimes \lang i_B| \Big)\)

\(\rho^A=tr_B(\rho^{AB})=tr_B\Big(\sum_i\lambda_i^2 (|i_A\rang \otimes |i_B\rang ) (\lang i_A| \otimes \lang i_B| )\Big)=\sum_i \lambda_i^2 tr_B \Big(|i_A\rang\lang i_A| \otimes |i_B\rang \lang i_B| \Big) \\= \sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| tr(|i_B\rang \lang i_B|)=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| tr(\lang i_B|i_B\rang)\\=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| (\lang i_B|i_B\rang)=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A|\)

类似地，可以得到\(\rho^B=\sum_i\lambda_i^2|i_B\rang\lang i_B|\).

基\(i_A\)和\(i_B\)分别称为\(A\)和\(B\)的 Schmidt 基，且非零\(\lambda_i\) 的个数称为状态\(|\psi\rang\)的 Schmidt 数. Schmidt 数是复合量子系统的重要属性，在某种意义下是量化系统\(A\)和\(B\)之间纠缠的 “量”.

Schmidt 数在系统\(A\)和\(B\)的单独酉变换下保持不变，有

\(|\psi\rang\) 的Schmidt 分解 \(\Longrightarrow |\psi\rang=\sum_i \lambda_i|i_A\rang|i_B\rang\)

\(U|\psi\rang\) 的Schmidt 分解 \(\Longrightarrow U|\psi\rang=U\sum_i \lambda_i |i_A\rang|i_B\rang=\sum_i \lambda_i (U|i_A\rang)|i_B\rang\)

其中，\(U\)只是作用在系统\(A\) 上的酉算子.

8.2 纯化

• 纯化的定义

\(A\) 的密度算子\(\rho^A\), 引入参考系统\(R\)，并且联合系统\(AR\) 定义纯态\(|AR\rang\)，使得\(\rho^A=tr_R(|AR\rang \lang AR|)\), 则\(|AR\rang\) 称为\(\rho^A\) 的纯化.

• 如何构造参考系统\(R\)和纯化

设\(\rho^A\) 有标准正交分解 \(\rho^A=\sum_ip_i|i_A\rang\lang i_A|\), 其中\(|i_A\rang\) 是系统\(A\) 的标准正交基，系统\(R\) 有与系统\(A\)相同的状态空间，并且有标准正交基\(|i_R\rang\) , 复合系统的纯态\(|AR\rang=\sum_i \sqrt{p_i}|i_A\rang |i_R\rang\) 就是\(\rho^A\) 的纯化.

推导如下：

\(tr_R(|AR\rang\lang AR|)=tr_R(\sum_i \sqrt{p_i}|i_A\rang |i_R\rang \sum_j \sqrt{p_j}\lang j_A| \lang j_R|)\\=tr_R\Big(\sum_i \sum_j (\sqrt{p_ip_j}(|i_A\rang \otimes |i_R\rang)(\lang j_A| \otimes \lang j_R|))\Big)\\=\sum_i \sum_j \sqrt{p_ip_j}tr_B\Big(|i_A\rang\lang j_A|\otimes |i_R\rang\lang j_R|\Big)\\=\sum_ip_i |i_A\rang\lang i_A|tr(|i_R\rang \lang i_R|)\\=\sum_ip_i |i_A\rang\lang i_A|tr(\lang i_R|i_R\rang)\\=\sum_ip_i |i_A\rang\lang i_A|=\rho^A\)

8.3 Schmidt 分解与纯化的关系

Schmidt 分解和纯化有密切的关系.

• 纯化系统A的一个混合态 \(\rho^A\)的过程就是定义复合系统的一个纯态\(|AR\rang\).
• 纯态\(|AR\rang\)相对系统\(A\)的Schmidt 基正好将混合态\(\rho^A\) 对角化(谱分解).
• 纯态\(|AR\rang\) 的Schmidt系数就是被纯化的混合态\(\rho^A\)的特征值\((p_i~or~\lambda_i^2)\)的平方根\((\sqrt{p_i}~or~\lambda_i)\).

参考文献

[1] [英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.

[2] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科学出版社，2013.