原文来自:博客园（华夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun
上一篇讲了FM（Factorization Machines），说一说FFM（Field-aware Factorization Machines ）。
回顾一下FM：
$\begin{equation}\hat{y}=w_0+\sum_{i=1}^n{w_ix_i}+\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{v_i\cdot v_jx_ix_j}}\label{fm}\end{equation}$ (1)
$\cdot$表示向量的内积。样本$x$是$n$维向量，$x_i$是第$i$个维度上的值。$v_i$是$x_i$对应的长度为$K$的隐向量，$V$是模型参数，所以所有样本都使用同一个$V$，即$x_{1,1}$与$x_{2,1}$都使用$v_1$。
在FFM（Field-aware Factorization Machines ）中每一维特征（feature）都归属于一个特定的field，field和feature是一对多的关系。比如
| field | field1年龄 | field2城市 | field3性别 | |||
| feature | x1年龄 | x2北京 | x3上海 | x4深圳 | x5男 | x6女 |
| 用户1 | 23 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 用户2 | 31 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1. 对于连续特征，一个特征就对应一个Field。或者对连续特征离散化，一个分箱成为一个特征。比如
| field | field1年龄 | |||
| feature | 小于20 | 20-30 | 30-40 | 大于40 |
| 用户1 | 0 | 23 | 0 | 0 |
| 用户2 | 0 | 0 | 31 | 0 |
2. 对于离散特征，采用one-hot编码，同一种属性的归到一个Field
不论是连续特征还是离散特征，它们都有一个共同点：同一个field下只有一个feature的值不是0，其他feature的值都是0。
FFM模型认为$v_i$不仅跟$x_i$有关系，还跟与$x_i$相乘的$x_j$所属的Field有关系，即$v_i$成了一个二维向量$v_{F\times K}$，$F$是Field的总个数。FFM只保留了(1)中的二次项.
$\begin{equation}\hat{y}=\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{v_{i,fj}\cdot v_{j,fi}x_ix_j}}\label{ffm}\end{equation}$(2)
以上文的表格数据为例，计算用户1的$\hat{y}$
$\hat{y}=v_{1,f2}\cdot v_{2,f1}x_1x_2+v_{1,f3}\cdot v_{3,f1}x_1x_3+v_{1,f4}\cdot v_{4,f1}x_1x_4+\cdots$
由于$x_2,x_3,x_4$属于同一个Field，所以$f2,f3,f4$可以用同一个变量来代替，比如就用$f2$。
$\hat{y}=v_{1,f2}\cdot v_{2,f1}x_1x_2+v_{1,f2}\cdot v_{3,f1}x_1x_3+v_{1,f2}\cdot v_{4,f1}x_1x_4+\cdots$
我们来算一下$\hat{y}$对$v_{1,f2}$的偏导。
$\hat{y}=v_{1,f2}\cdot v_{2,f1}x_1x_2+v_{1,f2}\cdot v_{3,f1}x_1x_3+v_{1,f2}\cdot v_{4,f1}x_1x_4+\cdots$
等式两边都是长度为$K$的向量。
注意$x_2,x_3,x_4$是同一个属性的one-hot表示，即$x_2,x_3,x_4$中只有一个为1，其他都为0。在本例中$x_3=x_4=0, x_2=1$，所以
$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{1,f2}}}=v_{2,f1}x_1x_2$
推广到一般情况：
$\begin{equation}\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{i,fj}}}=v_{j,fi}x_ix_j\label{par}\end{equation}$(3)
$x_j$属于Field$fj$，且同一个Field里面的其他$x_m$都等于0。实际项目中$x$是非常高维的稀疏向量，求导时只关注那些非0项即可。
你一定有个疑问：$v$是模型参数，为了求$v$我们$\cdot$采用梯度下降法时需要计算损失函数对$v$的导数，为什么这里要计算$\hat{y}$对$v$的导数？看看分割线下方的内容你就明白了。
在实际预测点击率的项目中我们是不会直接使用公式(2)的，通常会再套一层sigmoid函数。公式(2)中的y^我们用z来取代。
$z=\phi(v,x)=\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{v_{i,fj}\cdot v_{j,fi}x_ix_j}}$
由公式(3)得
$\frac{\partial{z}}{\partial{v_{i,fj}}}=v_{j,fi}x_ix_j$
用$a$表示对点击率的预测值
$a=\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{1+e^{-\phi(v,x)}}$
令$y=0$表示负样本，$y=1$表示正样本，$C$表示交叉熵损失函数。根据《神经网络调优》中的公式(1)(2)可得
$\frac{\partial C}{\partial z}=a-y=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{1+e^z} & if\ y是正样本 \\ \frac{1}{1+e^{-z}} & if\ y是负样本\end{matrix}\right .$
$\frac{\partial C}{\partial{v_{i,fj}}}=\frac{\partial C}{\partial z}\frac{\partial{z}}{\partial{v_{i,fj}}}$
看完了本博客再去看论文《Field-aware Factorization Machines for CTR Prediction》中的公式推导应该就比较容易了吧，在该论文中他是以$y=1$代表正样本，$y=−1$代表负样本，所以才有了3.1节中的
$\kappa=\frac{\partial C}{\partial z}=\frac{-y}{1+e^{yz}}$