ACwing 895 - 最长上升子序列（最长上升子序列模型）

给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数N。

第二行包含N个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1 ≤ N ≤ 1000，
−10⁹ ≤ 数列中的数 ≤ 10⁹

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

题目大意：

输入一个 n ，第二行有 n 个数，输出最长上升子序列的长度。

解题思路:

动态规划之最长上升子序列模型，要求输出最长上升子序列的长度，从两方面入手：

• 状态表示： 用一维表示状态 f[i] 表示 考虑前 i 个数字的上升子序列的长度，属性是最大值，也就是表示前 i 个数字的最长上升子序列的长度。
• 状态计算： 集合的划分，需要考虑f[i] 可以从哪些状态转移过来，j 从1枚举到 i - 1, f[i] 则可以从 f[1] f[2] … f[i - 1] 这些集合中转移过来，取最大值，前提是a[j] < a[i] 因为求的是上升子序列。

得到状态转移方程：f[i] = max(f[i], f[j] + 1)

Code：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int a[N], f[N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        f[i] = 1;//初始化，最短长度为1
        for (int j = 1; j < i; j ++)
            if (a[j] < a[i])//实现这个条件才可以取max
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
    
    int res = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);//1 - n 取最大值即为答案
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}