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[转] ECC算法

Asp1rant 2020-12-16 19:42 原文

转自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/103665076

ECC原理介绍

首先我们来学习一下ECC(椭圆曲线加密)的原理。ECC全称为“Ellipse Curve Ctyptography”，是一种基于椭圆曲线数学的公开密钥加密算法。椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。与传统的基于大质数分解难题的加密算法不同，该加密方式基于 “离散对数” 这种数学难题。该算法的主要优势是可以使用更小的密钥病提供相当高等级的安全。ECC164位的密钥产生一个安全级，相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度，而且计算量较小，处理速度更快，存储空间和传输带宽占用较少。目前我国居民二代身份证正在使用 256 位的椭圆曲线密码，虚拟货币比特币也选择ECC作为加密算法。

 

一、数学基础

（一）椭圆曲线

椭圆曲线，一般我们用如下方程定义：

其图像一般如下：


椭圆曲线的定义也要求曲线是非奇异的(即处处可导的)。几何上来说，这意味着图像里面没有尖 点、自相交或孤立点。代数上来说，这成立当且仅当判别式: 

不为0.这里主要是满足其可导性。

（二）近世代数

群

群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，并且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质的代数结构。这四个性质是：

  • 封闭性：对于所有G中a, b，运算a·b的结果也在G中。
  • 结合律：对于所有G中的a, b和c，等式 `(a·b)·c = a·(b·c)`成立。
  • 单位元：存在G中的一个元素e，使得对于所有G中的元素a，总有等式`e·a = a·e = a`成立。
  • 对于集合中所有元素存在逆元素

特殊的群：

满足交换律的群称为交换群（阿贝尔群），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。

设 (G, · )为一个群，若存在一G内的元素g，使得

则称G关于运算“ · ”形成一个循环群。

元素的阶(order)：

一个群内的一个元素a之阶（有时称为周期）是指会使得am = e的最小正整数m（其中的e为这个群的单位元素，且am为a的m次幂）。若没有此数存在，则称a有无限阶。有限群的所有元素有有限阶。

一个群G的阶被标记为ord(G)或|G|,他表示群内元素的个数，而一个元素的阶则标记为ord(a)或|a|。

有限域

  在数学中，有限域（finite field）或伽罗瓦域（Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模。有限域的元素个数称为它的阶(order)。可以看出域是满足更多运算的群。

这里我们规定一个有限域Fp

  • 取大质数p，则有限域中有p-1个有限元：0，1，2...p-1
  • Fp上的加法为模p加法`a+b≡c(mod p)`
  • Fp上的乘法为模p乘法`a×b≡c(mod p)`
  • Fp上的除法就是乘除数的乘法逆元`a÷b≡c(mod p)`，即 `a×b^(-1)≡c (mod p)`
  • Fp的乘法单位元为1，零元为0
  • Fp域上满足交换律，结合律，分配律

在这个域上我们希望使用椭圆曲线构造加密函数，但是考虑到曲线本身是连续的，不适合做加密，因此我们得想办法在椭圆曲线上构造一种离散的运算。这是我们可以构造一个阿贝尔群：

给定曲线

P，Q为曲线上的点，我们规定加法：

实P + Q = R是曲线上点的加法运算，任意取椭圆曲线上两点P、Q（若P、Q两点重合，则作P点的切线），作直线交于椭圆曲线的另一点R'，过R'做y轴的平行线交于R，定义P+Q=R。这样，加法的和也在椭圆曲线上，并同样具备加法的交换律、结合律:

若P与Q点重合，则求P的切线交曲线的另一点为R‘。若有k个相同的点P相加，如3P = P + P + P

下面我们利用小学二年级就学过的微积分的知识求一下相关方程：

  • 无穷远点 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P
  • P(x,y)的负元是 (x,-y mod p)= (x,p-y) ，有P+(-P)= O∞
  • P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系：
x3≡(k**2-x1-x2)(mod p)
y3≡(k(x1-x3)-y1)(mod p)
这里对等式两边求全微分，即可求出k = dy/dx
若P=Q 则 k=((3x^2+a)/2y1)mod p
这里PQ为不同的点，直接计算斜率
若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p

若kP = O ∞ ，那么k就是点P的阶(order)

上面这个椭圆曲线上点的加法运算，就构成了一个阿贝尔群，数学基础到此结束。

 

二、ElGamal离散对数密码体制

我们来介绍一下基于离散对数的加密算法，首先密钥与公钥的生成步骤如下：

（一）公钥密钥生成：

1. Alice首先构造一条椭圆曲线E，在曲线上选择一点G作为生成元，并求G的阶为n，要求n必须为质数。此时构成了一个循环群\<G>。

2. Alice选择一个私钥k (k < n),生成公钥 Q = kG

3. Alice将公钥组E、Q、G发送给Bob

（二）加密过程

1、Bob收到信息后，将明纹编码为M，M为曲线上一点，并选择一个随机数r（r < n, n为G的阶）

2、Bob计算点Cipher1与Cipher2即两段密文，计算方法如下

  • Cipher1 = M + rQ
  • Cipher2 = rG

3、Bob把Cipher1和Cipher2发给Alice

（三） 解密过程

1、Alice收到密文后，为了获得M，只需要Cipher1 - k · Cipher2,因为

Cipher1 - k*Cipher2 = M + rQ - krG = M + rkG - krG = M

2、将M解码即可

（四）技术要求

在选择参数时有一下要求：

  • 大质数p越大安全性越好，但是速度会降低，200位左右可以满足一般安全要求
  • n应为质数
  • 椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的商的整数部分为h，h≤4；p≠n×h ；pt≠1(mod n) (1≤t＜20)
  • 满足椭圆曲线的判别式

 

三、代码实现

Python代码，参见原博客

C++可以调用Wolfssl库

 

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