高等代数4 线性方程组
一般线性方程组
一般线性方程组是指形式为
的方程组，其中\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)表示\(n\)个未知量，\(s\)是方程的个数，\(a_{ij}(i=1,2,\cdots,s,j=1,2,\cdots,n)\)称为方程组系数，\(b_j(j=1,2,\cdots,s)\)称为常数项。
方程组的一个解就是指由\(n\)个数\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)组成的有序数组\((k_1,k_2,\cdots,k_n)\)，当\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)分别用\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)代入后，（2）中每个等式都变为恒等式。
方程组(2)的解的全体称为它的解集合。
如果两个方程组有相同的解集合，他们就称为同解的。
一般消元法解一般线性方程组
线性方程组的初等变换：
- 用一非零的数乘某一方程；
- 把一个方程的倍数加到另一个方程；
- 互换两个方程的位置
初等变换把方程组变成同解的方程组。
阶梯形方程组
用初等变换将方程组化为阶梯形矩阵。
不妨设所得到的的方程组为
其中\(c_{ij}\neq 0,i=1,2,\cdots,r\)，方程组中的\(0=0\)可能不出现，去掉也不影响（2）的解。并且（1）与（2）是同解的。
-
在（2）中有方程\(0=d_{r+1}\)，而\(d_{r+1}\neq 0\)，这时方程组无解
-
当\(d_{r+1}=0\)或（2）没有\(0=0\)的方程时，方程组有解。
-
\(r=n\)，方程个数等于未知数个数，方程组有唯一解
这时阶梯形方程组为
\[\begin{cases} c_{11}x_1 +&c_{12}x_2+\cdots +&c_{1r}x_r+\cdots+&c_{1n}x_n&=d_1 \\ &c_{22}x_2+\cdots+&c_{2r}x_r+\cdots+&c_{2n}x_n&=d_2 \\ && \ \ \ \cdots \cdots \\ & &&c_{nn}x_n&=d_n \\ \end{cases} \]由最后一个方程组可以逐一确定未知数的值，这时方程组有唯一解。
-
\(r<n\)，方程个数小于未知数个数，方程组有无穷多个解
这时方程组为
\[\begin{cases} c_{11}x_1 +&c_{12}x_2+\cdots +&c_{1r}x_r+\cdots+&c_{1n}x_n&=d_1 \\ &c_{22}x_2+\cdots+&c_{2r}x_r+\cdots+&c_{2n}x_n&=d_2 \\ && \ \ \ \cdots \cdots \\ & &c_{rr}x_r +\cdots +&c_{rn}x_n&=d_r \\ \end{cases} \]其中\(c_{ii}\neq 0,i=1,2,\cdots,r\)把它改写为
\[\begin{cases} c_{11}x_1 +&c_{12}x_2+\cdots +&c_{1r}x_r&=d_1-c_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-c_{1n}x_n \\ &c_{22}x_2+\cdots+&c_{2r}x_r&=d_2-c_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-c_{2n}x_n \\ && \ \ \ \cdots \cdots \\ &&c_{rr}x_r &=d_r-c_{r,r+1}x_{r,r+1}-\cdots -c_{rn}x_{n} \\ \end{cases} \]由此可见，任给\(x_{r+1},\cdots,x_n\)一组值，就唯一确定出\(x_1,x_2,\cdots,x_r\)的值，也就是给吃醋方程组（5）的一个解。
一般地，由（8）我们可以把\(x_1,x_2,\cdots,x_r\)通过\(x_{r+1},\cdots,x_n\)表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而\(x_{r+1},\cdots,x_n\)称为一组自由未知量。
-
齐次线性方程组
判断有无非零解
-
方程个数
在齐次线性方程组
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_2+\cdots +a_{sn}x_n=0 \\ \end{cases} \]中，如果\(s<n\)（方程个数<未知数个数），那么他必有非零解。
-
系数矩阵的秩
齐次线性方程组
-
的系数矩阵
的行秩\(r<n\)，那么它有非零解。
-
系数矩阵的行列式
齐线性方程组
有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
的行列式等于零。
系数矩阵的行列式\(|A|\neq 0\)，那么它只有零解。
性质
- 两个解的和还是方程组的解。
- 一个解的倍数还是方程组的解。
解的线性组合还是方程组的解。
基础解系
齐次线性方程组（6）的一组解\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t\)称为（6）的一个基础解系，如果
- （6）的任意一个解都能表示成\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t\)的线性组合；
- \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t\)线性无关
具体找基础解系的方法
-
定理
在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于\(n-r\)，这里\(r\)表示系数矩阵的秩（\(n-r\)也就是自由未知量的个数）。
任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系。
设方程组的系数矩阵的秩为\(r\)，方程组可以改写为
-
如果\(r=n\)，方程组没有自由未知量，方程组右端为零，方程组只有零解。
-
分别用\(n-r\)组数\((1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)\)来代替自由未知量\((x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_n)\)，就得出方程组的\(n-r\)个解
\[\begin{cases} \eta_1=(c_{11},\cdots,c_{1r},1,0,\cdots,0) \\ \eta_2=(c_{21},\cdots,c_{2r},0,1,\cdots,0) \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \eta_{n-r}=(c_{n-r,1},\cdots,c_{n-r,r},0,0,\cdots,1) \\ \end{cases} \]上式就是一个基础解系，方程的任意一个解都可以由它表示出来。
一般线性方程组
矩阵
称为系数矩阵。
矩阵
称为增广矩阵。
有解的判别
- 线性方程组（1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵\(A\)和增广矩阵\(\bar A\)有相同的秩。
-
用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵。
-
如果系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，方程组有解；
- 当增广矩阵的秩等于未知数个数时，方程组有唯一解；
- 当增广矩阵的秩小于未知数个数时，方程有无穷多个解。
-
当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解。
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解的结构 导出组
- 导出组：把一般线性方程组\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_1+\cdots +a_{1n}x_1=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_1+\cdots +a_{2n}x_1=b_2 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_1+\cdots +a_{sn}x_n=b_s \\ \end{cases} \]的常数项换为\(0\)，就得到齐次线性方程组，\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_1+\cdots +a_{1n}x_1=0 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_1+\cdots +a_{2n}x_1=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_1+\cdots +a_{sn}x_n=0 \\ \end{cases} \]所得到的齐次线性方程组（17）称为原一般线性方程组（16）的导出组。
原一般线性方程组和它的导出组的解之间的关系
- 线性方程组（15）的两个解的差是它的导出组（16）的解。
- 线性方程组（15）的一个解与它的导出组（16）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。
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定理
如果\(\gamma_0\)是方程组（15）一个特解，那么方程组（15）的任何一个解\(\gamma\)都可以表成
\[\gamma=\gamma_0+\eta \]其中\(\eta\)是导出组（16）的一个解。
因此，对于方程组(15)的任一个特解\(\gamma_0\)，当\(\eta\)取遍它的导出组的全部解时，（17）就给出（15）的全部解。
-
如果\(\gamma_0\)是方程组（15）的一个特解，\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\)是其导出组的一个基础解系，那么（15）的任一个解\(\gamma\)都可以表成
\[\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r} \] -
推论 在方程组（15）有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（1）只有零解。
克拉默法则—方程个数等于未知数个数
只考虑方程个数与未知数个数相等的情形。
-
定理
如果线性方程组
\[\begin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \]的系数矩阵
\[A_{nn}=\left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn} \\ \end{matrix} \right ) \]的行列式，即系数行列式 \(d=|A| \neq 0\).
那么线性方程组（19）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
\[x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},\cdots,x_n=\frac{d_n}{d} \]其中\(d_j\)是把矩阵中第\(j\)列换成方程组的常数项\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)所组成的矩阵的行列式，即
\[d_j= \left | \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} &b_1 &a_{1,j+1} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} &b_2 &a_{2,j+1} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} &b_n &a_{n,j+1} &\cdots &a_{nn}\\ \end{matrix} \right |,j=1,2,\cdots,n \]
附
行列式的计算
一个\(n\)阶行列式可以看成由一个\(n\)级方阵\(A\)决定的，对于矩阵可以进行初等行变换变为阶梯形方阵，阶梯形方阵的行列式是上三角形的，也就等于对角线元素的乘积。
行列式的性质
- 一个数乘行列式的一行等于用这个数乘这个行列式，或说 一行的公因子可以提出去。
- 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
- 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
由行列式的性质可以得知方阵进行初等行变换对行列式的值影响。
计算矩阵的秩
首先，矩阵的初等行变换是把行向量变成一个与之等价的向量组。等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩。同样，初等列变换也不改变矩阵的秩。
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零行的数目。
为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。