1.nim游戏
nim游戏的一般描述是这样的，有n堆石子，AB两个人每轮分别可以从某一堆石子中选择任意多个拿走，若到某一轮某个人不能拿石子了，那么判这个人输。如果这两个人都足够聪明的话，那么A先选择的话谁能够获胜。
我们称非必胜态的状态为必败态。
结论是全部异或操作之后结果为零时为必败状态，其余状态为必胜态。
证明
（1）当n等于2的时候
两堆石子个数相同的时候为必败态，因为后手可以模仿先手而将两堆石子的数量调成相同，如先手将某一堆拿走m个石子，那么后手可以在另一堆拿走m个已达到两堆石子相同，那么先手必定会面领两堆石子都为0的状态。
（2）以n>2的时候
证明如下三点的时候能够证明某一状态是否为必胜态。
（1）某状态的下一个状态的所有情况都为必胜态的时候，此状态为必败态。
（2）某状态下有必败态的时候，则此点为必胜态
（3）终点状态可确定
将所有堆的石子数做异或运算，令结果为0时为a状态，其他状态为b状态。
所有堆石子数均为零时为必败态，也为a状态，我们只要证明a状态的下一个状态必为b状态，b状态的下一个状态可以为a状态。那么b状态即为必胜态。
证明① b状态一定能转化成a状态
设b状态时所有堆数异或结果为x，设x的二进制最高位位为w，找出x的最高位所在的石子堆（设此石子堆的石子数位y），将此石子堆的数量变成y^x，此时相当与拿掉了y并且加入了一个y^x的石子堆，异或结果为x^y^(y^x)为0，也可以很显然的知道y一定是大于y^x的。
证明② 异或结果是零的下一步不可能是异或结果为零。
每个堆里面含有不同的一些二进制位，相同的二进制位必定存在于不同的两个堆里面。