考研路茫茫——单词情结
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Problem Description
背单词，始终是复习英语的重要环节。在荒废了3年大学生涯后，Lele也终于要开始背单词了。
一天，Lele在某本单词书上看到了一个根据词根来背单词的方法。比如"ab",放在单词前一般表示"相反，变坏，离去"等。
于是Lele想，如果背了N个词根，那这些词根到底会不会在单词里出现呢。更确切的描述是：长度不超过L，只由小写字母组成的，至少包含一个词根的单词，一共可能有多少个呢？这里就不考虑单词是否有实际意义。
比如一共有2个词根 aa 和 ab ，则可能存在104个长度不超过3的单词，分别为
(2个) aa,ab,
(26个)aaa,aab,aac...aaz,
(26个)aba,abb,abc...abz,
(25个)baa,caa,daa...zaa,
(25个)bab,cab,dab...zab。
这个只是很小的情况。而对于其他复杂点的情况，Lele实在是数不出来了，现在就请你帮帮他。
一天，Lele在某本单词书上看到了一个根据词根来背单词的方法。比如"ab",放在单词前一般表示"相反，变坏，离去"等。
于是Lele想，如果背了N个词根，那这些词根到底会不会在单词里出现呢。更确切的描述是：长度不超过L，只由小写字母组成的，至少包含一个词根的单词，一共可能有多少个呢？这里就不考虑单词是否有实际意义。
比如一共有2个词根 aa 和 ab ，则可能存在104个长度不超过3的单词，分别为
(2个) aa,ab,
(26个)aaa,aab,aac...aaz,
(26个)aba,abb,abc...abz,
(25个)baa,caa,daa...zaa,
(25个)bab,cab,dab...zab。
这个只是很小的情况。而对于其他复杂点的情况，Lele实在是数不出来了，现在就请你帮帮他。
Input
本题目包含多组数据，请处理到文件结束。
每组数据占两行。
第一行有两个正整数N和L。(0<N<6,0<L<2^31)
第二行有N个词根，每个词根仅由小写字母组成，长度不超过5。两个词根中间用一个空格分隔开。
每组数据占两行。
第一行有两个正整数N和L。(0<N<6,0<L<2^31)
第二行有N个词根，每个词根仅由小写字母组成，长度不超过5。两个词根中间用一个空格分隔开。
Output
对于每组数据，请在一行里输出一共可能的单词数目。
由于结果可能非常巨大，你只需要输出单词总数模2^64的值。
由于结果可能非常巨大，你只需要输出单词总数模2^64的值。
Sample Input
2 3
aa ab
1 2
a
Sample Output
104
52
Author
linle
Recommend
lcy
这道题从上午搞到现在终于是用两种方法搞完了
在这里想说一句，输入的n,l其中l要用到64位，因为后面算26^1+26^2+...+26^l或者A^1+A^2+A^3+...+A^l时要用到(l+1)/2进行二分快速幂，而l+1可能会超int,网上很多都没说清楚
第二个就是求26^1+26^2+...+26^l或者A^1+A^2+A^3+...+A^l都可以用二分进行快速幂或直接进行矩阵快速幂，在这里我两种方法都写了
第三个就是计算26^1+26^2+...+26^l不要用等比公式变成(26^(l+1)-26)/25去进行快速幂计算，这样会出错，至于为什么出错自己调试调试就知道了
第四个就是题目中说结果可能很大需要去mod 2^64,在这里直接定义变量unsigned __int64,这样超出的就自动截断了，相当于mod
分析+题解请看代码
第一种方法：用二分矩阵快速幂求A^1+A^2+...+A^l
/*
分析:相信做过poj2778的都知道如何求长度为n的模式串不包含病毒串的个数
没做过的建议去做，此题是poj2778的加强版
本题只需要求出长度<=n的所有串-包含病毒串的个数
即26^1+26^2+26^3+...+26^n-(A^1+A^2+A^3+...+A^n);//A是状态矩阵,即在满足条件下到达另一个状态的个数
26^1+...+26^n可以用快速幂求出h或者矩阵快速幂求出,A^1+...+A^n可以用矩阵二分快速幂求出或者构造:
|1 26| |Sn | |Sn+1 |
|0 26|*|26^n|=|26^(n+1)|;//Sn=26^1+26^2+...+26^n
|A 1| |Sn| |Sn+1|
|0 1|*| A|=|A |;//Sn=A+A^2+A^3+...+A^n
只要:|A 1|
|0 1|
自乘n次与|S0|相乘即可,则可以用矩阵快速幂求
|A |
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<iomanip>
#define INF 99999999
using namespace std;
const int MAX=30+10;
//unsigned __int64 mod=1ll<<64;
unsigned __int64 array[MAX][MAX],sum[MAX][MAX],temp[MAX][MAX],ans[MAX][MAX];
__int64 l;
int size,n;
char s[10];
struct TrieNode{
bool mark;//标记是否是词根
int id;//记录节点序号
TrieNode *fail,*next[26];
}*root,Node[MAX];
TrieNode *New_TrieNode(){
memset(&Node[size],0,sizeof(TrieNode));
Node[size].id=size;
return &Node[size++];
}
void InsertNode(char *a){//插入词根
TrieNode *p=root;
while(*a){
if(!p->next[(*a)-'a'])p->next[(*a)-'a']=New_TrieNode();
p=p->next[(*a)-'a'];
++a;
}
p->mark=true;
}
void Build_AC(){//建立AC自动机并构造初始矩阵array
memset(array,0,sizeof array);
TrieNode *p,*next;
queue<TrieNode *>q;
q.push(root);
while(!q.empty()){
p=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<26;++i){
if(p->next[i]){
next=p->fail;
while(next && !next->next[i])next=next->fail;
p->next[i]->fail=next?next->next[i]:root;
if(p->next[i]->fail->mark)p->next[i]->mark=true;//表示这个前缀是词根,acg,ac
q.push(p->next[i]);
}else p->next[i]=(p == root)?root:p->fail->next[i];//从p->id状态可以递推到p->fail->next[i]状态
if(!p->next[i]->mark)++array[p->id][p->next[i]->id];//表示到达的下一个状态非词根,则可以到达
}
}
}
void MatrixInit(unsigned __int64 a[MAX][MAX],bool flag){//矩阵初始化
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j){
if(flag)a[i][j]=array[i][j];//a=array
else a[i][j]=(i == j);//a=1
}
}
}
void MatrixAdd(unsigned __int64 a[MAX][MAX],unsigned __int64 b[MAX][MAX]){//矩阵相加,a=a+b
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j)a[i][j]+=b[i][j];
}
}
void MatrixMult(unsigned __int64 a[MAX][MAX],unsigned __int64 b[MAX][MAX]){//矩阵相乘,a=a*b
unsigned __int64 c[MAX][MAX]={0};
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j){
for(int k=0;k<size;++k){
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}
}
}
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j)a[i][j]=c[i][j];
}
}
void MatrixPow(__int64 k){
MatrixInit(sum,0);//sum=1
MatrixInit(temp,1);//temp=array
while(k){
if(k&1)MatrixMult(sum,temp);
MatrixMult(temp,temp);
k>>=1;
}
}
void MatrixSum(__int64 k){//A^1+A^2+A^3+...+A^n
if(k == 1){MatrixInit(ans,1);return;}
MatrixSum(k/2);
MatrixPow((k+1)/2);//这里用到了k+1,而k+1可能会超int,所以k即l要用64位
if(k&1){//A+(A+A^m)*(A^1+A^2+...);//m=(k+1)/2
MatrixInit(temp,1);//temp=A;
MatrixAdd(sum,temp);//sum=sum+temp=A^m+A
MatrixMult(ans,sum);//ans=ans*sum=(A^1+A^2+...)*(A^m+A)
MatrixAdd(ans,temp);//ans=ans+temp=ans+A=A^1+A^2+...)*(A^m+A)
}else{//(1+A^m)*(A^1+A^2+...);//m=(k+1)/2
MatrixInit(temp,0);//temp=1
MatrixAdd(temp,sum);//temp=temp+sum=1+A^m
MatrixMult(ans,temp);//ans=ans*temp=(A^1+A^2+...)*(1+A^m)
}
}
int main(){
while(scanf("%d%I64d",&n,&l)!=EOF){
size=2;
array[0][0]=1,array[0][1]=26;
array[1][0]=0,array[1][1]=26;
MatrixPow(l);//求26^1+26^2+...+26^l
unsigned __int64 all=sum[0][1];
printf("%I64u\n",all);
size=0;
root=New_TrieNode();
for(int i=0;i<n;++i){
scanf("%s",s);
InsertNode(s);
}
Build_AC();
MatrixSum(l);//A^1+A^2+A^3+...+A^n
for(int i=0;i<size;++i)all-=ans[0][i];
printf("%I64u\n",all);
}
return 0;
}
第二种方法：用包含矩阵的矩阵进行快速幂求A^1+A^2+A^3+...+A^l;//第一次这种方式写，不知道是不是我写错了，感觉效率增加不是很多，为什么别人说效率会增加4倍左右呢，有知道的大神请指教
/*
分析:相信做过poj2778的都知道如何求长度为n的模式串不包含病毒串的个数
没做过的建议去做，此题是poj2778的加强版
本题只需要求出长度<=n的所有串-包含病毒串的个数
即26^1+26^2+26^3+...+26^n-(A^1+A^2+A^3+...+A^n);//A是状态矩阵,即在满足条件下到达另一个状态的个数
26^1+...+26^n可以用快速幂求出h或者矩阵快速幂求出,A^1+...+A^n可以用矩阵二分快速幂求出或者构造:
|1 26| |Sn | |Sn+1 |
|0 26|*|26^n|=|26^(n+1)|;//Sn=26^1+26^2+...+26^n
|A 1| |Sn| |Sn+1|
|0 1|*| A|=|A |;//Sn=A+A^2+A^3+...+A^n
只要:|A 1|
|0 1|
自乘n次与|S0|相乘即可,则可以用矩阵快速幂求
|A |
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<iomanip>
#define INF 99999999
using namespace std;
const int MAX=30+10;
//unsigned __int64 mod=1ll<<64;
unsigned __int64 array[MAX][MAX],sum[2][2][MAX][MAX],temp[2][2][MAX][MAX];
int size,n;
__int64 l;
char s[10];
struct TrieNode{
bool mark;//标记是否是词根
int id;//记录节点序号
TrieNode *fail,*next[26];
}*root,Node[MAX];
TrieNode *New_TrieNode(){
memset(&Node[size],0,sizeof(TrieNode));
Node[size].id=size;
return &Node[size++];
}
void InsertNode(char *a){//插入词根
TrieNode *p=root;
while(*a){
if(!p->next[(*a)-'a'])p->next[(*a)-'a']=New_TrieNode();
p=p->next[(*a)-'a'];
++a;
}
p->mark=true;
}
void Build_AC(){//建立AC自动机并构造初始矩阵array
memset(array,0,sizeof array);
TrieNode *p,*next;
queue<TrieNode *>q;
q.push(root);
while(!q.empty()){
p=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<26;++i){
if(p->next[i]){
next=p->fail;
while(next && !next->next[i])next=next->fail;
p->next[i]->fail=next?next->next[i]:root;
if(p->next[i]->fail->mark)p->next[i]->mark=true;//表示这个前缀是词根,acg,ac
q.push(p->next[i]);
}else p->next[i]=(p == root)?root:p->fail->next[i];//从p->id状态可以递推到p->fail->next[i]状态
if(!p->next[i]->mark)++array[p->id][p->next[i]->id];//表示到达的下一个状态非词根,则可以到达
}
}
}
void MatrixInit(unsigned __int64 A[2][2][MAX][MAX],bool flag){//矩阵初始化
for(int a=0;a<2;++a){
for(int b=0;b<2;++b){
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j){
if(flag){
if(a+b == 0)A[a][b][i][j]=array[i][j];//A[0][0]=array
else if(b == 1)A[a][b][i][j]=(i == j);//A[0][1]=A[1][1]=1
else A[a][b][i][j]=0;//A[1][0]=0
}else{
if(a == b)A[a][b][i][j]=(i == j);//A[0][0]=A[1][1]=1
else A[a][b][i][j]=0;//A[0][1]=A[1][0]=0;
}
}
}
}
}
}
void MatrixMult(unsigned __int64 A[2][2][MAX][MAX],unsigned __int64 B[2][2][MAX][MAX]){//矩阵相乘,a=a*b
unsigned __int64 C[2][2][MAX][MAX]={0};
for(int a=0;a<2;++a){
for(int b=0;b<2;++b){
for(int c=0;c<2;++c){
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j){
for(int k=0;k<size;++k){
C[a][b][i][j]+=A[a][c][i][k]*B[c][b][k][j];
}
}
}
}
}
}
for(int a=0;a<2;++a){
for(int b=0;b<2;++b){
for(int i=0;i<size;++i){
for(int j=0;j<size;++j)A[a][b][i][j]=C[a][b][i][j];
}
}
}
}
void MatrixPow(__int64 k){
MatrixInit(sum,0);//sum=1
MatrixInit(temp,1);//temp=B=|A 1|
while(k){ //|0 1|
if(k&1)MatrixMult(sum,temp);
MatrixMult(temp,temp);
k>>=1;
}
}
unsigned __int64 FastPow(unsigned __int64 a,int k){
unsigned __int64 ans=1;
while(k){
if(k&1)ans=ans*a;
a=a*a;
k>>=1;
}
return ans;
}
unsigned __int64 FastSum(__int64 k){
if(k == 1)return 26;
unsigned __int64 ans=FastSum(k/2);
unsigned __int64 a=FastPow(26ull,(k+1)/2);//这里用到了k+1,而k+1可能会超int,k要用64位
if(k&1)return 26+(26+a)*ans;//26+(26+26^m)*(26^1+26^2+...),m=(k+1)/2
else return (1+a)*ans;//(1+26^m)*(26^1+26^2+...),m=(k+1)/2
}
int main(){
while(scanf("%d%I64d",&n,&l)!=EOF){
size=0;
root=New_TrieNode();
for(int i=0;i<n;++i){
scanf("%s",s);
InsertNode(s);
}
Build_AC();
MatrixPow(l);
unsigned __int64 ans=FastSum(l);
for(int j=0;j<size;++j){//只要求出最终的sum[0][1][0][i]的结果就行
for(int k=0;k<size;++k){
ans-=sum[0][1][0][k]*array[k][j];
}
}
printf("%I64u\n",ans);
}
return 0;
}