对于特征值与特征向量的理解一直有些困惑，最近看PageRank算法碰巧有遇到了特征值与特征向量，所以想探究一下特征值与特征向量的几何意义。
矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
假设变换矩阵为，因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：
。它其实对应的线性变换是下面的形式：
上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个缩放变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行缩放变换，当值>1时拉长，当值<1时缩短）。
缩放变换（比例变换）一般情况：
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放
⒉当a≠d，图形产生畸变
有几种特殊情况：
⑴当a、d之一为1，图形沿单方向放大或缩小
a =1，d≠1，图形沿y方向放大或缩小；
d =1，a≠1，图形沿x方向放大或缩小。
⑵当a、d之一为0，图形变换为x轴或y轴上的线段
a＝0，d≠0，图形变换为y轴上的线段；
d＝0，a≠0，图形变换为x轴上的线段。
⑶当a、d均为0，图形压缩为一点（即原点）
当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子：，
，则描述的变换为：
这其实是在平面上对一个轴进行的缩放变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最主要的变化方向（变化方向可能有不止一个）。如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。
此种变换称为错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）。
包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。
1、沿x方向错切
变换矩阵T=，
其中：c～错切系数。
cy～沿x方向的错切量（x坐标沿x方向的移动量）。
cy>0，沿＋x方向错切（移动）；
cy<0，沿－x方向错切（移动）；
c=0即cy=0，不错切（恒等变换）。
例：设矩形ABCD对应的矩阵为
设T中的c＝2，对矩形ABCD进行变换：
变换特点：
①变换后点的y坐标不变，x坐标平移了cy；
②平行于x轴的直线变换后仍平行于x轴；
③平行于y轴的直线变换后，y=0的点不动(不动点)，y≠0的点沿x方向平移了cy，形成与y轴夹角为θ的直线，且 tgθ＝cy / y＝c。
⒉沿y方向错切
其中：b～错切系数。
bx～沿y方向的错切量（y坐标沿y方向的移动量）。
bx>0，沿＋y方向错切（移动）；
bx<0，沿－y方向错切（移动）；
b=0即bx=0，不错切（恒等变换）。
例：设矩形ABCD对应的矩阵为
设T中的b＝－2，对矩形ABCD进行变换：
变换特点：
①变换后点的x坐标不变，y坐标平移了bx；
②平行于y轴的直线变换后仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后，x=0的点不动(不动点)，x≠0的点沿y方向平移了bx，形成与x轴夹角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。