概率论 - 正态分布
正态分布具有一些有用的性质。
正态分布和标准正态分布的转换
引理
若随机变量 \(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\),则 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\backsim N(0,1)\)
证明
由\(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\),得 \(P(X\leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
而 \(P(Z\leq x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x)=P(X\leq x\sigma+\mu)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x\sigma + \mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)
记 \(F(x)=P(X\leq x)\),\(H(x)=P(Z\leq x)\),
则有
\(H(x)=F(x\sigma+\mu)\)
两边关于 \(x\) 取导,有:
\(h(x)=\sigma f(x\sigma+\mu)\)
\(=\sigma (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx)'\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
\(=\varphi(x)\)
得证。
结论
若一个随机变量符合正态分布,那么它的标准化变量服从标准正态分布。
正态分布的性质
内容源见引用。[1]
- \(n\) 维正态随机变量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 的每一个分量 \(X_i\) 都是正态随机变量;反之,若 \(X_1,X_2,...,X_n\) 都是正态随机变量,且相互独立,则 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 是 \(n\) 维正态随机变量。
- \(n\) 维随机变量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服从 \(n\) 维正态分布的充要条件是 \(X_1,X_2,...,X_n\) 的任意线性组合 \(l_1X_1+l_2X_2+...+l_nX_n\) 服从一维正态分布(其中 \(l_1,l_2,...,l_n\) 不全为零)。
- 若 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服从 \(n\) 维正态分布,设 \((Y_1,Y_2,...,Y_k)\) 是 \(X_j\) 的线性函数,则 \((Y_1,Y_2,...,Y_k)\) 也服从多维正态分布。(正态变量的线性变换不变性)
- 设 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服从 \(n\) 维正态分布,则 \(X_1,X_2,...,X_n\) 相互独立与 \(X_1,X_2,...,X_n\) 两两不相关等价。
举例:
-
设 \(X_1,X_2\) 为来自 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本,则
- 对 \(Y=X_1+X_2\) ,有 \(E(Y)=2\mu\) ,\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
证:\(E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)\),\(D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2)\) 。
- 对 \(Y=X_1-X_2\) ,有 \(E(Y)=0\) ,\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
证:\(E(X_1-X_2)=E(X_1)+E(-X_2)=0\),\(D(X_1-X_2)=D(X_1)+D(-X_2)=2\sigma^2\) 。
- 对 \(Y=X_1+X_2\) ,有 \(E(Y)=2\mu\) ,\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
-
(2019考研数学一)设 \(X,Y\) 相互独立,且都服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) ,则 \(P\{|X-Y|<1\}\) :与 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 是否有关?
解:\(Z=X-Y\) ,\(E(Z)=0,D(Z)=2\sigma^2\) ,由正态分布的线性组合仍服从正态分布,故 \(Z\sim N(0,2\sigma^2)\) ,即 \(\frac{Z-0}{\sqrt{2}\sigma}\sim N(0,1)\) ,而 \(P\{|Z|<1\}=P\{-1<Z<1\}=P\{\frac{-1}{\sqrt{2}\sigma}<\frac{Z}{\sqrt{2}\sigma}<\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\}=2\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma})-1\) ,即仅仅与 \(\sigma^2\) 有关。
《概率论与数理统计·第四版》,浙江大学 盛骤 谢式千 潘承毅,高等教育出版社 ↩︎