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python - 使用python进行线性拟合的误差传播

问题描述

假设我对一些因变量y相对于一些自变量进行了多次测量x。我还记录了每次测量的不确定性dy。例如，这可能看起来像

import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4.1, 5.8, 8.1, 9.7])
dy = np.array([0.2, 0.3, 0.2, 0.4])

现在假设我希望测量值服从线性关系y = mx + b，并且我想确定y_umn一些未测量的 x 值的 y 值x_unm。如果我不考虑错误，我可以很容易地在 Python 中执行线性拟合：

fit_params, residuals, rank, s_values, rcond = np.polyfit(x, y, 1, full=True)
poly_func = np.poly1d(fit_params)

x_unm   # The unmeasured x value
y_unm = poly_func(x_unm)  # The unmeasured x value

这种方法有两个问题。首先是np.polyfit不包含每个点的错误。其次，我不知道不确定性y_unm是什么。

有谁知道如何以一种允许我确定不确定性的方式来拟合具有不确定性的数据y_unm？

标签： pythonnumpystatisticslinear-regression

解决方案

这是一个可以通过分析完成的问题，但这可能更适合作为数学/统计讨论。例如参见（在许多来源中）：

https://www.che.udel.edu/pdf/FittingData.pdf

拟合误差可以通过分析计算。重要的是要注意，在考虑测量误差时，拟合本身是不同的。

在 python 中，我不确定处理错误的内置函数，但这里是使用 scipy.optimize.fmin 进行卡方最小化的示例

#Calculate Chi^2 function to minimize
def chi_2(params,x,y,sigy):
    m,c=params
    return sum(((y-m*x-c)/sigy)**2)

data_in=(x,y,dy)
params0=[1,0]

q=fmin(chi_2,params0,args=data_in)

为了比较，我使用了这个、你的 polyfit 解决方案和分析解决方案，并为你提供的数据绘制了图。

给定技术的参数结果：

带 fmin 的加权卡方：m=1.94609996 b=2.1312239

解析：m=1.94609929078014 b=2.1312056737588647

Polyfit：m=1.91 b=2.15

线性拟合给定数据

这是完整的代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import fmin
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4.1, 5.8, 8.1, 9.7])
dy = np.array([0.2, 0.3, 0.2, 0.4]) 

#Calculate Chi^2 function to minimize
def chi_2(params,x,y,sigy):
    m,c=params
    return sum(((y-m*x-c)/sigy)**2)

data_in=(x,y,dy)
params0=[1,0]

q=fmin(chi_2,params0,args=data_in)

#Unweighted fit to compare

a=np.polyfit(x,y,deg=1)

#Analytic solution
sx=sum(x/dy**2)
sx2=sum(x**2/dy**2)
s1=sum(1./dy**2)
sy=sum(y/dy**2)
sxy=sum(x*y/dy**2)

ma=(s1*sxy-sx*sy)/(s1*sx2-sx**2)
ba=(sx2*sy-sx*sxy)/(sx2*s1-sx**2)

xplt=np.linspace(0,5,100)
yplt1=xplt*q[0]+q[1]


yplt2=xplt*a[0]+a[1]

yplt3=xplt*ma+ba

plt.figure()
plt.plot(xplt,yplt1,label='Error Weighted',color='black')
plt.plot(xplt,yplt2,label='Non-Error Weighted',color='blue')
plt.plot(xplt,yplt3,label='Error Weighted Analytic',linestyle='--',color='red')
plt.errorbar(x,y,yerr=dy,fmt='ko')
plt.legend()
plt.show()

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