coq - Coq - 证明已经定义的东西?
问题描述
以“如果其中一个是偶数而另一个是奇数,则两个自然数之和为奇数”的非常直接的证明:
Require Import Arith.
Require Import Coq.omega.Omega.
Definition even (n: nat) := exists k, n = 2 * k.
Definition odd (n: nat) := exists k, n = 2 * k + 1.
Lemma sum_odd_even : forall n m, odd (n + m) -> odd n /\ even m \/ even n /\ odd m.
Proof.
intros n. intros m. left.
destruct H. firstorder.
此代码块末尾的状态是:
2 subgoals
n, m, x : nat
H : n + m = 2 * x + 1
______________________________________(1/2)
odd n
______________________________________(2/2)
even m
据我了解,它告诉我需要通过假设证明我有一个奇数 n 和一个偶数 m?即使我已经说过 n 是奇数而 m 是偶数?我该如何从这里开始?
更新:
经过一番坐立不安(根据评论),我想我必须做这样的事情?
Lemma even_or_odd: forall (n: nat), even n \/ odd n.
Proof.
induction n as [|n IHn].
(* Base Case *)
left. unfold even. exists 0. firstorder.
(* step case *)
destruct IHn as [IHeven | IHodd].
right. unfold even in IHeven. destruct IHeven as [k Heq].
unfold odd. exists k. firstorder.
left. unfold odd in IHodd. destruct IHodd as [k Heq].
unfold even. exists (k + 1). firstorder.
Qed.
这意味着现在:
Lemma sum_odd : forall n m, odd (n + m) -> odd n /\ even m \/ even n /\ odd m.
Proof.
intros n. intros m. left. destruct H. firstorder.
pose proof (even_or_odd n). pose proof (even_or_odd m).
结果:
2 subgoals
n, m, x : nat
H : n + m = 2 * x + 1
H0 : even n \/ odd n
H1 : even m \/ odd m
______________________________________(1/2)
odd n
______________________________________(2/2)
even m
直观地说,我所做的只是说每个数字都是偶数或奇数。现在我必须告诉 coq 我的奇数和偶数确实是奇数和偶数(我猜?)。
更新 2:
顺便说一句,这个问题可以用一阶来解决:
Lemma sum_odd : forall n m, odd (n + m) -> odd n /\ even m \/ even n /\ odd m.
Proof.
intros n. intros m. firstorder.
pose proof (even_or_odd n). pose proof (even_or_odd m).
destruct H0 as [Even_n | Odd_n]. destruct H1 as [Even_m | Odd_m].
exfalso. firstorder.
right. auto.
destruct H1. left. auto.
exfalso. firstorder.
Qed.
解决方案
您的使用left
仍然不正确,并且使您无法完成证明。您将其应用于以下目标:
odd (n + m) -> odd n /\ even m \/ even n /\ odd m
它给出了:
H : odd (n + m)
______________________________________(1/1)
odd n /\ even m
你承诺证明如果n + m
是奇数,那么n
是奇数和m
偶数。但这不是真的:n
可能是奇数,m
也可能是偶数。只有在上下文left
中right
有足够的信息来确定要证明哪一个时才申请。
因此,让我们重新启动left
:
Lemma sum_odd : forall n m, odd (n + m) -> odd n /\ even m \/ even n /\ odd m.
Proof.
intros n. intros m. firstorder.
pose proof (even_or_odd n). pose proof (even_or_odd m).
此时我们处于:
H : n + m = 2 * x + 1
H0 : even n \/ odd n
H1 : even m \/ odd m
______________________________________(1/1)
odd n /\ even m \/ even n /\ odd m
现在你想从析取中证明一些东西。为了证明A \/ B -> C
Coq 构造逻辑中的某种形式,您必须同时 A -> C
证明和B -> C
。A \/ B
您通过对(使用destruct
或其他策略)的案例分析来做到这一点。在这种情况下,我们有两个析取要分解:
destruct H0 as [Even_n | Odd_n], H1 as [Even_m | Odd_m].
这给出了四种情况。我会告诉你前两个,后两个是对称的。
拳套:
H : n + m = 2 * x + 1
Even_n : even n
Even_m : even m
______________________________________(1/1)
odd n /\ even m \/ even n /\ odd m
假设是矛盾的:如果两者n
都是m
偶数,则H
不能成立。我们可以这样证明:
- exfalso. destruct Even_n, Even_m. omega.
(逐步了解会发生什么!)这exfalso
并不是真正必要的,但它是很好的文档,我们通过证明假设矛盾来进行证明。
第二种情况:
H : n + m = 2 * x + 1
Even_n : even n
Odd_m : odd m
______________________________________(1/1)
odd n /\ even m \/ even n /\ odd m
现在,知道在这种情况下适用的假设,我们可以承诺正确的析取。这就是为什么你left
阻止你取得进步!
- right.
剩下要证明的是:
Even_n : even n
Odd_m : odd m
______________________________________(1/1)
even n /\ odd m
并且auto
可以处理这个。
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