image-processing - 为什么哈里斯矩阵是半正定的

Question

我正在学习“哈里斯角检测器”算法，并坚持为什么哈里斯矩阵是半正定的。

由于哈里斯矩阵的迹是正的，所以我可以告诉哈里斯矩阵的两个特征值都是正的或一正一负的。

那么，如何推导哈里斯矩阵是半正定的呢？

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Answer 1

在 Harris 角点检测器的计算中生成的矩阵是结构张量（参见 Wikipedia 上的此处）。结构张量是由梯度场与自身M的外积创建的矩阵：g

g = gradient( image );
M = smooth( g * g' );

（应用smooth了局部平滑）。

在没有任何平滑的g * g'情况下，通过构造，将始终具有一个正特征值和一个 0 特征值。您可以通过写出结果矩阵的行列式来看到这一点，该行列式始终为 0，这意味着特征值之一必须为 0（它们的乘积是行列式）。另一个必须是正数，因为迹线是两个平方的和；由于一个特征值是 0，另一个特征值必须等于迹。

局部平滑将几个这样的矩阵相加（加权相加）。将半正定矩阵相加得到一个半正定矩阵： if v'*A*v>=0, and v'*B*v>=0, then v'*(A+B)*v>=0。