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r - R：如何获得用于分析积分的插值样条的分段系数？

问题描述

动机

我在数值上评估一个深度嵌套的多重积分。在每个嵌套级别，我得到下一层的积分向量，乘以密度函数向量，得到y该级别的被积函数向量。这些x值的间距不均匀。

被积函数是弯曲的，梯形积分不够准确，所以我想做一个允许曲率的积分。辛普森规则不适用，因为横坐标的间距不均匀。所以我建议做一个三次样条插值，然后通过解析计算每个段中三次的积分来计算样条函数的积分。

问题

我一直在研究包中的函数和spline函数。但是我找不到任何可以告诉我三次多项式系列的系数的东西——每节之间一个。splinefunsplines2

如果有人能指出一个函数来进行样条插值并提供三次系数数组，我将不胜感激。

谢谢你。

标签： rinterpolationsplineintegralpolynomials

解决方案

这是在这里扩展我的新答案的绝佳机会：如何在 R 中保存和加载样条插值函数？使用分段参数化，很容易计算分段积分。

在此处输入图像描述

这是一个用于计算的（矢量化）函数：

## a function for integration on a piece
piecewise_int <- function (hi, yi, bi, ci, di) {
  yi * hi + bi * hi ^ 2 / 2 + ci * hi ^ 3 / 3 + di * hi ^ 4 / 4
  }

下面，我将在那个线程中举一个小例子，展示如何整合样条线。

## the small example in the linked thread
set.seed(0)
xk <- c(0, 1, 2)
yk <- round(runif(3), 2)
f <- splinefun(xk, yk, "natural")  ## natural cubic spline
construction_info <- environment(f)$z

## information for integration
int_info <- with(construction_info,
                 list(h = diff(x), y = y[-n], b = b[-n], c = c[-n], d = d[-n])
                 )

## cubic spline integration on all pieces
integral <- sum(do.call(piecewise_int, int_info))
#[1] 0.81375

我们还可以执行数值积分来验证这个结果。

integrate(f, 0, 2)
#0.81375 with absolute error < 9e-15

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