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matlab - 寻找高斯分布的交点

问题描述

如何在 MATLAB 中找到高斯混合分布相交的所有点？ 在此处输入图像描述

标签： matlabgaussian

解决方案

您问题的一般类别是找到两条曲线的交点，这是一项易于管理但并非微不足道的任务（最难的部分是确保您抓住所有交点）。

但是您的问题非常具体：您正在寻找两个高斯的交集。这非常好：我们都为您的函数提供了一个解析公式，并且可以保证只有两个交点，除非您的某些参数相同。*

让我们假设您的分布以均值mu1和mu2尺度sigma1为特征sigma2。然后你的高斯位置x由函数定义

1/sqrt(2*pi*sigma^2) * exp(-(x-mu)^2/2/sigma^2)

事实证明，我们可以x在纸上完全解决这个方程：

1/sqrt(2*pi*sigma1^2)*exp(-(x-mu1)^2/2/sigma1^2) == 1/sqrt(2*pi*sigma2^2)*exp(-(x-mu2)^2/2/sigma2^2)
sigma2/sigma1 == exp((x-mu1)^2/2/sigma1^2) * exp(-(x-mu2)^2/2/sigma2^2)
log(sigma2/sigma1) == (x-mu1)^2/2/sigma1^2) - (x-mu2)^2/2/sigma2^2

ax^2 + bx + c == 0这导致抛物线方程

a = 1/(2*sigma1^2) - 1/(2*sigma2^2);
b = mu2/(sigma2^2) - mu1/(sigma1^2);
c = mu1^2/(2*sigma1^2) - mu2^2/(2*sigma2^2) - log(sigma2/sigma1);

很容易证明D = b^2 - 4 a c判别式是非负的，所以当参数不退化时，方程确实有两个实根。所以这两个交点是，具有上述定义，

D = b^2 - 4 * a * c;
x1 = (-b + sqrt(D))/(2*a);
x2 = (-b - sqrt(D))/(2*a);

使用两个具有伪随机参数的高斯函数：

% define parameters and Gaussian
mu1=1; sigma1=3; mu2=2; sigma2=4;

% intersections
a = 1/(2*sigma1^2) - 1/(2*sigma2^2);
b = mu2/(sigma2^2) - mu1/(sigma1^2);
c = mu1^2/(2*sigma1^2) - mu2^2/(2*sigma2^2) - log(sigma2/sigma1)
D = b^2 - 4 * a * c;
x1 = (-b + sqrt(D))/(2*a);
x2 = (-b - sqrt(D))/(2*a);

只是为了证明上面的交点是正确的：

>> f = @(x,mu,sigma) 1/sqrt(2*pi*sigma^2) * exp(-(x-mu).^2/2/sigma^2);
>> f(x1,mu1,sigma1) - f(x1,mu2,sigma2)

ans =

   2.7756e-17

>> f(x2,mu1,sigma1) - f(x2,mu2,sigma2)

ans =

   1.0408e-17

以上意味着两个高斯在点x1和x2在机器精度范围内彼此相等，这与任何数字答案一样好。

*我最初声称只要高斯不完全相同，我们总是有两个交点。显然，如果均值和方差都相同，我们就会有两条退化曲线，并且交点变得毫无意义。但正如Cris Luengo 在评论中指出的那样，可能只有一个交集：当方差相同且均值不同时（即我们有两条形状完全相同的曲线沿移动x）。在这种情况下a=0，相应的方程是b*x + c == 0，给出了我们x0 = -c/b的交集。所以一个更准确（但有点伪代码）的答案（给定和a）是bc

if a == 0 % or allow some tolerance... <=> sigma1 == sigma2
   if b == 0 % or allow some tolerance... <=> mu1 == mu2
      % degenerate curves: a == b == c == 0, f1(x)==f2(x) for all x
      disp('curves are degenerate...')
   else
      % single intersection: mu1 ~= mu2
      x1 = -c/b;
   end
else
   % two intersections; both parameters are different
   D = b^2 - 4 * a * c;
   x1 = (-b + sqrt(D))/(2*a);
   x2 = (-b - sqrt(D))/(2*a);

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